Причинность и законы сохранения.: Часть 1

Видео

Конспект

Условие

В межзвездном пространстве расположены две станции, которые покоятся относительно.

Пусть в некоторой системе отсчета K событие 1 происходит в точке x_1 = 0 в момент t_1 = 0 , а событие 2 - в точке x_2 = L > 0 в момент t_2 = \tau > 0 .

а) при L > c\tau найти систему отсчета K_1 , в которой эти события происходят одновременно;

б) при L < c\tau найти систему отсчета K_2 , в которой эти события происходят в одной точке.

Решение

a) В системе отсчета K_1 t_1' = 0 , и должно быть t_2' = 0 = \gamma (\tau - \frac{\upsilon_1}{c^2} L) \gamma (\tau - \frac{\upsilon_1}{c^2} L) = 0 \tau - \frac{\upsilon_1}{c^2} L = 0 \frac{\upsilon_1}{c^2} L = \tau \upsilon_1 = \frac{c^2 \tau}{L} < c \quad \text{или} \quad L > c\tau

K_1 движется по оси x со скоростью \ds \upsilon_1 =

\frac{c^2 \tau}{L}

б) В СО K_2 \ds x_1'' = 0 \Rightarrow x_2'' = 0 = \gamma (L - \upsilon_2 \tau) \gamma (L - \upsilon_2 \tau) = 0

\upsilon_2 = \frac{L}{\tau} < c \quad \text{или} \quad L < c\tau K_2 движется по оси x со скоростью \ds \upsilon_2 = \frac{L}{\tau}

Ответ K_1 движется со скоростью \ds \upsilon_1 =

\frac{c^2 \tau}{L} ; K_2 движется со скоростью \ds \upsilon_2 = \frac{L}{\tau} .

Условие

Пи-ноль-мезон ( \pi^0 ) с массой покоя m распадается на два фотона ( \pi^0 \rightarrow \gamma \gamma ), один из которых – с энергией E_1 =\frac{1}{8} mc^2 - вылетает в направлении, противоположном направлению движения распавшегося. Найти полную энергию распавшегося пиона.

Решение

В соОтветствии с законом сохранения энергии энергия \ds \pi^0 E = E_1 + E_2

Пусть ось x направлена "походу" пучка \ds \pi^0 , и по 3СИ: p_x = p_{1x} + p_{2x}

Для ротонов с \mid \vec{p_\gamma}\mid = E_{\gamma} , а для \pi^0 с \mid \vec{p}\mid = \sqrt{E^2 - m^2 c^4}

Оба ротона не могут лететь против оси x (иначе ЗСИ не выполняется), и p_{1x}<0 , а p_{2x}>0 .

\sqrt{E^2 - m^2 c^4} = E_2 - E_1 Если из E = E_1 + E_2 вычесть \sqrt{E^2 - m^2 c^4} = E_2 - E_1 получим: E - \sqrt{E^2 - m^2 c^4} = 2E_1 = \frac{2}{8} mc^2 = \frac{1}{4} mc^2

то есть E - \sqrt{E^2 - m^2 c^4} = \frac{1}{4} mc^2 E - \frac{1}{4} mc^2 = \sqrt{E^2 - m^2 c^4}

Возведем в квадрат и получим: (E - \frac{1}{4}mc^2)^2 = E^2 - m^2 c^4 E^2 - \frac{1}{2}mc^2 E + \frac{1}{16}m^2 c^4 - E^2 + m^2 c^4 \frac{1}{2}mc^2 E = \frac{17}{16}m^2 c^4 \frac{1}{2}E = \frac{17}{16}mc^2 E = \frac{17}{16} mc^2 \cdot 2 = \frac{17}{8} mc^2 Ответ E = \frac{17}{8} mc^2 .

Условие

В пучке \pi -мезонов энергия частиц в n = 3 раза превышает энергию покоя. На входе в распадный канал поток частиц равен I_0 . Найдите поток частиц в пучке на расстоянии L = 15 м от входа. Время жизни покоящихся пионов r_0 \thickapprox 25 нс.

Решение

Ясно, что \gamma =

\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}} = 3 \Rightarrow

\frac{\upsilon}{c} =

\frac{2 \sqrt{2}}{3} - скорость \pi^0 до распада.

Время, за которое I убывает в e раз по часам наблюдателя \tau = \gamma T_0 = 3T_0

Время движения тиона: t = \frac{L}{\upsilon} = \frac{3}{2\sqrt{2}} - \frac{L}{c} I = I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \Rightarrow \frac{I}{I_0} = e^ {- \frac{L}{2\sqrt{2} c \tau_0}} = e^{ -\frac{1}{\sqrt{2}}} \thickapprox 0,493

Ответ I \thickapprox 0,493 .

Пи-ноль-мезон \ds (\pi^0) распадается на два фотона \ds (\pi^0 \to \gamma\gamma) , один из которых регистрируется детектором, расположенным на оси пионного пучка («по ходу» пионов). Энергия этого фотона \ds E = 2mc^2 , где \ds m - масса покоя пиона. Найти кинетическую энергию \ds T пиона перед распадом. В ответе укажите \ds T / mc^2 с точностью до тысячных.