СТО: причинность и преобразования Лоренца.: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 3

Часть 1: Принцип причинности в СТО.

Очень полезно разобрать структуру причинно-следственных связей в релятивистском мире. Для этого удобно обратить внимание на то, величина, характеризующая произвольное событие, произошедшее в точке пространства с координатами ( x, y, z ) в момент времени t ,

s^{2} \equiv(c \cdot t)^{2}-(x)^{2}-(y)^{2}-(z)^{2}=c^{2} t^{2}-\vec{r}^{2} является инвариантом преобразований Лоренца (то есть остается неизменной). В этом легко убедиться непосредственной проверкой. Величину s называют «интервалом» между этим событием и «начальным» событием, произошедшим в начале пространственной системы координат (точке (0,0,0) ) в момент t,=0 . Впрочем, даже из определения видно, что удобнее работать с его квадратом. Кроме того, можно рассматривать и интервал между двумя произвольными событиями - для этого нужно подставлять в формулу разности 4 координат событий.

image.png

Рассмотрим для простоты совокупность «событий» с фиксированными значениями координат y \equiv z \equiv 0 . Квадрат интервала от начала координат до произвольного события (c t, x, 0,0) \quad s^{2}=c^{2} t^{2}-x^{2} . По его значениям все события можно разделить на три группы:

1) |x|>c \mid t \Rightarrow s^{2}<0 . Такой интервал называют «пространственноподобным» - как у события А на рисунке. Нетрудно заметить, что такое значение s^{2} (инвариантное!) допускает существование CO , в которой t^{\prime}=0 , то есть в этой СО события О и А будут одновременными в разных точках. Ясно, что для этих событий не имеет жесткого смысла утверждение, что одно произошло раньше другого - их последовательность во времени зависит от СО. Поэтому они не могут быть причинносвязаны. Говорят, что область нахождения таких событий по отношению к О - «сектор относительной одновременности» («белый» цвет на диаграмме).

2) |x|<c|t| \Rightarrow s^{2}>0 . Такой интервал называют «времениподобным» (точки \mathrm{B}_{1} и \mathrm{B}_{2} ). Теперь существует СО, в которой такие события происходят с О в одной точке, но в разные моменты времени, а последовательность этих событий во времени одинакова во всех СО Они могут (хотя, конечно, не обязаны) быть причинносвязаны. Соответствующие области называют «конусом абсолютного будущего» («кремовая» область) и «конусом абсолютного прошлого» («голубая» область) по отношению к О.

3) x= \pm c t \Rightarrow s^{2}=0 . Линии, лежащие на этих «конусах», соответствуют мировым линиям световых импульсов, и такие интервалы называют «светоподобными» (или «изотропными») - как для события С. События О и С могут быть причинно связаны, только если эта связь осуществляется световым сигналом - мировая линия частицы с ненулевой массой покоя не может привести из О в С.

Упражнение: Пусть в некоторой системе отсчета К событие 1 происходит в точке x_{1}=0 в момент t_{1}=0 , а событие 2 - в точке x_{2}=L>0 в момент t_{2}=\tau>0 .

a) при L>c \tau найти систему отсчета \kappa_{1} , в которой эти события происходят одновременно;

б) при L<c \tau найти систему отсчета K_{2} , в которой эти события происходят в одной точке.

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К событие 1 происходит

на 5 с раньше события 2, причем расстояние между точками, в которых они произошли,

равно 3 световым секундам. В другой инерциальной системе отсчета К' событие 1

произошло на 8,5 с раньше события 2 Найдите расстояние между точками, в которых

произошли события 1 и 2 в СО К'. Ответ запишите в световых секундах и округлите до десятых.