СТО: причинность и преобразования Лоренца.

Часть 2: Преобразование Лоренца для разных физических величин. Энергия-импульс. При переходе из одной инерциальной СО в другую должны преобразовываться не только координаты пространства-времени, но и в принципе вообще все физические величины. Все величины можно классифицировать по законам преобразования. Например, скаляры - это величины, остающиеся неизменными. Четырех-векторы - это величины из четырех компонент, преобразующихся точно по формулам Лоренца (то есть все они ведут себя как $x^{\mu}$ - см. «математическое дополнение №2»). Такие величины можно «опознать» и по косвенным признакам. Например, скалярный квадрат 4 -вектора должен быть скаляром. Скалярный квадрат $x^{\mu}$ вычисляется следующим образом: $x^{2} \equiv x^{\mu} x_{\mu}=\left(x^{0}\right)^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}-\left(x^{3}\right)^{2}=c^{2} t^{2}-\vec{r}^{2}$. Эта величина - «квадрат интервала»как мы уже знаем, неизменна при преобразованиях Лоренца. Также скаляром должно быть скалярное произведение двух 4-векторов. Есть и другие, более сложные, законы преобразований. Например, энергия $E$ и импульс $\vec{p}$ тела с массой покоя $m_{0}$ очевидно изменяются при переходе из одной СО в другую, но при этом величина $\frac{E^{2}}{c^{2}}-\bar{p}^{2} \equiv m_{0}^{2} c^{2}$ остается неизменной, то есть это - скаляр. Нетрудно заметить, что она может быть записана как скалярный квадрат 4-вектора энергии-импульса $p^{\mu}=\left(\frac{E}{c}, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)$. Поэтому $\frac{E}{c}$ и компоненты $\vec{p}$ преобразуются именно по формулам Лоренца. Важное обстоятельство: признание энергии-импульса 4 -вектором «практически» очень ценно, так как теперь инвариантность величины $E^{2}-\bar{p}^{2} c^{2}$ имеет место не только для одной частицы, но и для произвольной физической системы. Это сильно расширяет круг задач, для которых можно использовать этот «инвариант». Наиболее яркий пример - задачи о «пороге реакции». Приведем пример. Пучок антипротонов с энергией $E$ налетает на покоящуюся мишень, в которой при столкновении их с протонами рождается бозоны Хиггса. Масса покоя протона равна $m$, масса покоя бозона Хиггса равна $M$. При какой минимальной величине $E$ возможна такая реакция? Решение: Проще всего рассматривать эту задачу в системе центра масс (СЦМ), в которой полный импульс пары протон-антипротон равен нулю: $\vec{P}_{СЦМ}=0$. Так как импульс рожденного бозона Хиггса равен нулю, а энергии сталкивающихся частиц одинаковы, то каждая из них должна иметь энергию не менее $\frac{M c^{2}}{2}$, и минимальная полная энергия системы $E_{СЦИ}^{\min }=M c^{2}$. В исходной системе с покоящейся мишенью (ее называют «Лабораторной Системой») энергия системы протон-антипротон $E_{\text {ЛС }}=E+m c^{2}$, а импульс равен импульсу налетающего антипротона $\vec{P}_{\text {ЛС }}=\vec{p}$. Учитывая инвариантность $E^{2}-\bar{p}^{2} c^{2}$, получаем: $$ \left(E_{ЛС}^{\min }\right)^{2}-\vec{P}_{ЛС}^{2}=\left(E_{\min }+m c^{2}\right)^{2}-\bar{p}^{2} c^{2}=\left(E_{СЦМ}^{\min }\right)^{2}-\vec{P}_{СЦМ}^{2}=M^{2} c^{4}-0, $$ откуда $ E_{\min }^{2}-\bar{p}^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}+2 m c^{2} E_{\min }=2 m^{2} c^{4}+2 m c^{2} E_{\min }=M^{2} c^{4} \quad$ (здесь учтено, что $E_{\text {min }}^{2}-\bar{p}^{2} c^{2}=m^{2} c^{4}$ ), и поэтому $E_{\min }=\frac{M^{2} c^{2}-m^{2} c^{2}}{2 m} \approx \frac{M^{2} c^{2}}{2 m}>>c^{2}$. Это вычисление объясняет, почему для открытия бозона Хиггса строили коллайдер, хотя технически ускоритель с неподвижной мишенью проще. Если учесть, что $m c^{2} \approx 938$ МэВ, а $M c^{2} \approx 125$ ГэВ, то $E_{\min } \approx 8330$ ГэВ!