Причинность и законы сохранения.: Часть 2

Видео

Конспект

Условие

Антипротон с кинетической энергией E = 8mc^2 ( m - масса покоя протона) сталкивается с покоящимся протоном и рождает нейтральный мезон, который затем распадается на два \gamma - кванта, полетевших вдоль оси движения антипротона. Найти их энергии. Чему равна масса покоя нейтрального мезона?

Решение

Запишем закон сохранение энергии: E_{k} + mc^2 + mc^2 = E_x = E_1 + E_2 или E_1 + E_2 = E_x = 10mc^2

ЗСИ в проекции на ось x , направленной по движению антипротона: cp = \sqrt{(E_k + mc^2)^2 - m^2 c^4} = 4\sqrt{5}mc^2 = cp_{1x} + cp_{2x}

cp_{1,2x} = \pm E_{1,2} , и оба фотона не могут двигаться по оси x (иначе 4\sqrt{5} = 10 ), то есть cp_x = E_1 - E_2 = 4\sqrt{5}mc^2

Из E_1 + E_2 = E_x = 10mc^2 и cp_x = E_1 - E_2 = 4\sqrt{5}mc^2 следует, что:

\begin{cases}

E_1 = (5 + 2\sqrt{5}) mc^2 \\

E_2 = (5 - 2\sqrt{5}) mc^2

\end{cases} M_x^2 c^4 = E_x^2 - c^2 p_x^2 = m^2 c^4 (100-80) = 20 m^2 c^4 M_c = 2m ,47 м

Ответ M_c = 2\sqrt{5}m \thickapprox 4,47 \hspace{3pt} м .

Условие

После выгорания ядерного горючего у «обычной» звезды вещество остывает, и силы давления не могут противостоять гравитационному сжатию до тех пор, пока ее вещество не переходит в новую фазу, в которой все электроны становятся «общими», все ядра «плавают» в электронном «газе» и тогда давление такого газа останавливает сжатие. В таком состоянии звезда (астрономы называют такие звезды белыми карликами) может жить довольно долго, однако если ее масса постепенно растет за счет поглощения окружающего вещества и превышает M_{кр} \thickapprox 1,44 M_C , (где масса Солнца: M_C \thickapprox 2 \cdot 10^{30} кг), то звезда теряет устойчивость и начинает сжиматься. Перед началом сжатия белый карлик обычно имеет радиус порядка 10000 км, и количества нейтронов и протонов в нем примерно равны. Сжатие приводит к тому, что электроны часто сталкиваются с ядрами, и начинается нейтронизация вещества за счет реакции «обратного \beta - распада» pe \rightarrow n\upsilon_e . Исчезновение электронов снижает давление электронного газа, что еще ускоряет нейтронизацию, и т.д. В результате весь процесс выглядит как взрыв огромной силы, который приводит к образованию нейтронной звезды и разлетающейся от нее «сброшенной оболочки». Такой взрыв астрономы называют «сверхновой». Нейтронная звезда действительно состоит большей частью из нейтронов, прижатых друг к другу, так что ее плотность примерно равна плотности атомных ядер. Считая, что практически вся выделившаяся при сжатии энергия переходит в излучение частиц с нулевой массой покоя, оцените эту энергию. Учтите, что потенциальная энергия гравитационного взаимодействия однородного шара массой M с радиусом r равна E_g = - \frac{3}{5} \frac{GM^2}{r} , где гравитационная постоянная G \thickapprox 6,7 \cdot 10^{-11} \mathrm{м^3}/(\mathrm{кг} \cdot \mathrm{c^2}) . Используйте следующие данные: радиус протона r_p \thickapprox 10^{-15} м, число Авогадро N_A \thickapprox 6 \cdot 10^{23} , молярная масса водорода \mu\thickapprox 2 г/моль.

Решение

Для оценки радиуса нейтронной звезды приравняем ее плотность к плотности ядерной материи, примерно равной отношению массы протона к его объему. Масса N_A протонов примерно равна половине молярной массы водорода, поэтому \frac{M}{r^3} \thickapprox \frac{\mu}{2 N_A N_{A} r_p^3} , откуда r \thickapprox r_p (\frac{2 N_A M}{\mu})^{\frac{1}{3}} . Для нейтронной звезды с массой 1,44 M_C , получим, что r \thickapprox 12 км. Радиус белого карлика на три порядка больше, поэтому грубая оценка для высвобождаемой энергии E^{(0)} \thickapprox \frac{3}{5} \frac{GM^2}{r} \thickapprox 3,0 \cdot 10^{46} Дж. На самом деле эта оценка является несколько завышенной, так как мы считали, что масса ядра при коллапсе не изменилась. Но в СТО убыль энергии означает убыль массы, и в «грубом» расчете мы этим эффектом пренебрегли, то есть считали, что E << Mc^2 . Поскольку Mc^2 \thickapprox 2,7 \cdot 10^{47} Дж \thickapprox 9 E^{(0)} , то эффект потери массы не слишком мал – его необходимо учитывать, если мы хотим иметь правильное значение с точностью до двух значащих чисел. Итак, на самом деле масса звезды после окончания нейтронизации M' = M - E/c^2 , и поэтому уравнение для определения выделившейся энергии E = \frac{3}{5} \frac{G (M - E/c^2)^2}{r} . Вводя обозначение E \equiv z \cdot E^{(0)} , приходим к квадратному уравнению z = (1 - \beta z)^2 \Rightarrow z^2 - \frac{1 + 2\beta}{\beta^2}z + \frac{1}{\beta^2} = 0 , где \beta \equiv \frac{E^{(0)}}{Mc^2} \thickapprox \frac{1}{9} . Его решение дает: E = E^{(0)} \frac{1 + 2\beta - \sqrt{1 + 4\beta}}{2\beta^2} . Поэтому более точная оценка выделяющейся энергии E \thickapprox 0,825 E^{(0)} \thickapprox 2,5 \cdot 10^{46} Дж.

Ответ E \thickapprox 2,5 \cdot 10^{46} Дж.

Пи-ноль-мезон \ds (\pi^0) с энергией \ds E = mc^2 распадается на два фотона \ds (\pi^0 \to \gamma\gamma) , которые вылетают под одинаковым углом к оси пионного пучка. Найти этот угол. Масса покоя пиона равна \ds m . Ответ запишите в градусах, с точностью до целого значения.