ЗСЭ и ЗСИ Часть 3: Часть 1

Задача 1

Условие

Маленький брусок массой m находится на гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии L_0 от вертикального столба, на котором на высоте h на коротком держателе закреплён маленький невесомый блок с неподвижной горизонтальной осью. Лёгкая нерастяжимая длинная нить одним концом прикреплена к бруску, перекинута через блок и натянута с постоянной силой F > mg . Трения в оси блока нет. В начальный момент брусок скользит по поверхности и имеет скорость v_0 , направленную от столба. Какой будет скорость бруска в тот момент, когда брусок перестанет давить на поверхность?

3 Решение

1 В момент отрыва N = 0 . С учётом этого запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось: \left\{\begin{aligned}

& T \cdot \sin\alpha - mg = 0 \\

& \sin\alpha = \frac{h}{\sqrt{L_1^2 + h^2}}

\end{aligned}\right. \quad \Rightarrow \quad \sqrt{L_1^2 + h^2} = \frac{Th}{mg}. \qquad (1) Из условия легкости нити и отсутствия трения в оси блока T=F . Запишем закон изменения кинетической энергии бруска:

A = \Delta E_к \quad \Rightarrow \quad -T \Delta l = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}, \qquad (2)

где \Delta l — удлинение нити:

\Delta l = \sqrt{L_1^2 + h^2} - \sqrt{L_0^2 + h^2}. \qquad (3) Подставим (1) и (3) в (2) :

F \left( -\frac{Fh}{mg} + \sqrt{L_0^2 + h^2} \right) = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}. Выразим скорость бруска v в момент отрыва:

v = \sqrt{v_0^2 + \frac{2F}{m} \left( \sqrt{L_0^2 + h^2} - \frac{Fh}{mg} \right)}. Ответ v = \sqrt{v_0^2 + \frac{2F}{m} \left( \sqrt{L_0^2 + h^2} - \frac{Fh}{mg} \right)}.

Задача 2

Условие

В горизонтальной гладкой трубе имеется кольцевая петля радиуса r (см. рисунок), расположенная в вертикальной плоскости. С какой минимальной скоростью должен двигаться в горизонтальном участке трубы тонкий гибкий канат длины l > 2\pi r , чтобы пройти через петлю? Считайте радиус петли r много большим радиусов трубы и каната.

4 Решение

Поскольку труба гладкая, то условием прохождения каната через петлю будет запас кинетической энергии для поднятия центра масс части каната внутри петли на максимальную высоту. Поскольку петля имеет форму круга, то часть каната внутри петли также приобретает данную форму, следовательно, максимальная высота отсчитывается относительно точки отсчёта потенциальной энергии до центра петли, в данном случае — r , поскольку из условия l > 2\pi r следует, что канат будет полностью занимать петлю. Определим массу части каната в петле:

\Delta m = \frac{m}{l} \cdot 2\pi r. Из З.С.Э.:

\frac{mv^2}{2} = \Delta m g r \quad \Rightarrow \quad \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{l} \cdot 2\pi r \cdot g r \quad \Rightarrow \quad v^2 = 4\pi g \frac{r^2}{l} \quad \Rightarrow \quad v = 2r \sqrt{\frac{\pi g}{l}}. Ответ v = 2r \sqrt{\frac{\pi g}{l}}.

Задача 3

Условие

На горизонтальной плоскости лежат два бруска массы m_1 и m_2 , соединенные недеформированной пружиной. Определите, какую наименьшую постоянную силу нужно приложить к левому бруску, чтобы сдвинулся и правый, если коэффициент трения грузов о плоскость \mu , ускорение свободного падения g .

6 Решение

Работа силы F : F \cdot x = \frac{kx^2}{2} + \mu m_1 g x. Для сдвига правого бруска сила упругости должна сравняться с силой трения покоя: kx = \mu m_2 g \implies k = \frac{\mu m_2 g}{x}. Подставим в выражение для F : F = \frac{kx}{2} + \mu m_1 g ; \quad F = \frac{\mu m_2 g}{x} \cdot \frac{x}{2} + \mu m_1 g; F = \mu g \left( \frac{m_2}{2} + m_1 \right).

Ответ F = \mu g \left( \frac{m_2}{2} + m_1 \right).