ЗСЭ и ЗСИ Часть 1: Часть 1

Задача 1

Условие

После разрыва неподвижного снаряда образовалось четыре осколка. Осколок массой m_1 = 4 кг полетел вертикально вниз со скоростью v_1 = 150 м/с, осколок массой m_2 = 3 кг полетел горизонтально на юг со скоростью v_2 = 100 м/с, осколок массой m_3 = 1 кг — горизонтально на восток. Осколок массой m_4 = 3,5 кг полетел со скоростью v_4 = 200 м/с. Найдите скорость осколка массой m_3 .

Решение

По закону сохранения импульса (З.С.И.) для замкнутой системы: 0 = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + m_3\vec{v}_3 + m_4\vec{v}_4 Векторы скоростей \vec{v}_1 , \vec{v}_2 и \vec{v}_3 взаимно перпендикулярны (один вертикально, два других в горизонтальной плоскости под углом 90^\circ друг к другу). Из З.С.И. следует, что импульс четвертого осколка уравновешивает геометрическую сумму импульсов первых трех: -m_4\vec{v}_4 = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + m_3\vec{v}_3. По теореме Пифагора для пространственных векторов (диагональ прямоугольного параллелепипеда): (m_4 v_4)^2 = (m_1 v_1)^2 + (m_2 v_2)^2 + (m_3 v_3)^2. Выразим v_3 : (m_3 v_3)^2 = (m_4 v_4)^2 - (m_1 v_1)^2 - (m_2 v_2)^2. v_3 = \frac{\sqrt{(m_4 v_4)^2 - (m_1 v_1)^2 - (m_2 v_2)^2}}{m_3}. Подставляем числовые значения: v_3 = \frac{\sqrt{(3,5 \cdot 200)^2 - (4 \cdot 150)^2 - (3 \cdot 100)^2}}{1}. v_3 = \sqrt{(700)^2 - (600)^2 - (300)^2} = \sqrt{490000 - 360000 - 90000} = \sqrt{40000} = 200 \,\, м/с.

Ответ v_3 = 200 \,\, м/с.

Задача 2

Условие

Шарики массами m и 3m связаны нитью; между ними вставлена лёгкая пружина жесткостью k , сжатая на величину x_0 . Система движется с некоторой скоростью вдоль прямой, проходящей через центры шариков. Нить пережигают, и скорость шарика массой m увеличивается в 7 раз. Найти начальную скорость шариков.

2 Решение

Пусть v_0 — начальная скорость системы, v_1 — скорость шарика массой 3m после разрыва нити. По условию скорость шарика массой m стала равной 7v_0 . По закону сохранения импульса (З.С.И.): (3m + m)v_0 = 3m v_1 + m(7v_0). 4m v_0 = 3m v_1 + 7m v_0 \implies 3m v_1 = -3m v_0 \implies v_1 = -v_0. (Шарик массой 3m изменил направление движения на противоположное, но модуль скорости остался прежним). По закону сохранения энергии (З.С.Э.): \frac{4m v_0^2}{2} + \frac{k x_0^2}{2} = \frac{3m v_1^2}{2} + \frac{m(7v_0)^2}{2}. Подставим v_1 = -v_0 : \frac{4m v_0^2}{2} + \frac{k x_0^2}{2} = \frac{3m v_0^2}{2} + \frac{49m v_0^2}{2}. Умножим на 2: 4m v_0^2 + k x_0^2 = 3m v_0^2 + 49m v_0^2. k x_0^2 = 52m v_0^2 - 4m v_0^2 = 48m v_0^2. Выражаем начальную скорость v_0 : v_0^2 = \frac{k x_0^2}{48m} \implies v_0 = x_0 \sqrt{\frac{k}{48m}}.

Ответ v_0 = x_0 \sqrt{\frac{k}{48m}}.

Задача 3

Условие

Бруски с массами m и 5m связаны нитью, длина которой много больше размеров брусков. Между брусками вставлена сжатая на величину X_0 и прикрепленная только к бруску массой 5m легкая пружина жесткостью K . Система движется по гладкой горизонтальной поверхности стола вдоль горизонтально натянутой нити со скоростью v . Нить разрывается, и бруски разъезжаются вдоль начального направления нити.

Найти скорость бруска массой m после его отделения от пружины;

Найти время соприкосновения бруска массой m с пружиной, считая от момента разрыва нити.

3 Решение

1. Перейдем в систему отсчета центра масс (СО ЦМ), которая движется со скоростью v . В ней бруски изначально покоятся. Пусть v_1 — скорость бруска m , а v_2 — бруска 5m относительно ЦМ после отделения. По З.С.И. в СО ЦМ: 0 = m v_1 - 5m v_2 \implies v_1 = 5v_2 \implies v_2 = \frac{1}{5}v_1. По З.С.Э. в СО ЦМ: \frac{K X_0^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{5m v_2^2}{2}. Подставляем v_2 : \frac{K X_0^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{5m}{2} \left(\frac{v_1}{5}\right)^2 = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{m v_1^2}{10} = \frac{6m v_1^2}{10}. Отсюда

v_1^2 = \frac{5K X_0^2}{6m} \implies v_1 = X_0 \sqrt{\frac{5K}{6m}}. Тогда скорость бруска массой m в неподвижной системе (относительно стола): v_m = v + v_1 = v + X_0 \sqrt{\frac{5K}{6m}}. 2. Найдем время соприкосновения. Пружину можно представить состоящей из двух частей, разделенных неподвижным (в СО ЦМ) центром масс. Центр масс делит пружину в отношении, обратно пропорциональном массам, т.е. длина части пружины, действующей на массу m , равна L_1 = \frac{5}{6}L . Жесткость этой части обратно пропорциональна ее длине:

K_1 L_1 = K L \implies K_1 = K \frac{L}{5L/6} = \frac{6}{5}K. Циклическая частота колебаний массы m на такой "эффективной" пружине: \omega = \sqrt{\frac{K_1}{m}} = \sqrt{\frac{6K}{5m}}. Время контакта равно четверти периода колебаний: t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{2} \frac{1}{\omega} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{5m}{6K}}.

Ответ 1. v_m = v + X_0 \sqrt{\frac{5K}{6m}} ; 2. t = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{5m}{6K}} .