ЗСЭ и ЗСИ Часть 2

Задача 7 Условие Человек массой $m = 50$ кг стоит в середине квадратного плота массой $M = 200$ кг и площадью $S = 4$ м$^2$, неподвижно плавающего на поверхности воды. На какое расстояние $x$ переместится плот, если человек медленно перейдет в угол плота? Решение Запишем закон сохранения импульса проекции на направление движения: $$ 0 = m \vec{v} + M \vec{u} \implies m v = M u \implies v = \frac{M}{m} u $$ Относительная скорость человека по плоту: $$ v_{отн} = v + u $$ По теореме Пифагора расстояние от центра до угла квадратного плота: $$ l = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{S}{2}} $$ Время движения можно выразить двумя способами: $$ t = \frac{l}{v_{отн}} = \frac{\sqrt{S/2}}{v + u}, \quad t = \frac{x}{u} $$ Приравняем их и подставим $v = \frac{M}{m} u$: $$ \frac{x}{u} = \sqrt{\frac{S}{2}} \frac{1}{\frac{M}{m}u + u} \implies x = \sqrt{\frac{S}{2}} \frac{m}{M+m} $$ Подставим числовые значения ($m=50$, $M=200$, $S=4$): $$ x = \sqrt{\frac{4}{2}} \frac{50}{200+50} = \sqrt{2} \cdot \frac{50}{250} = 0,28 м = 28 см $$ Ответ: $28 см$ Задача 8 Условие В центр квадратной свободно висящей доски попадает пуля. Пуля пробивает доску насквозь, если её скорость до удара больше $v_0$. С какой скоростью будет двигаться доска, если скорость пули до удара $2v_0$? Масса пули $m$, масса доски $M$, силу сопротивления считать не зависящей от скорости. Решение Пусть $v_0$ — минимальная скорость, при которой пуля пробивает доску (застревает на выходе). По закону сохранения импульса для $v = v_0$: $$ m v = m v_1 + M u \implies v_1 = v - \frac{M}{m}u $$ Запишем закон сохранения энергии для случая с постоянной силой сопротивления $F_c$: $$ \frac{m v^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{M u^2}{2} + Q $$ Где $A = F_c \cdot S = Q$ (работа по пробиванию доски). Для $v = v_0$ пуля застревает, поэтому находим выделенное тепло: $$ Q = \frac{m M v_0^2}{2(M+m)} $$ Рассмотрим случай, когда $v = 2v_0$. Подставим $Q$ и $v$ в закон сохранения энергии: $$ \frac{m (2v_0)^2}{2} = \frac{m}{2} \left( 2v_0 - \frac{M}{m}u \right)^2 + \frac{m M v_0^2}{2(M+m)} + \frac{M u^2}{2} $$ Раскрывая квадрат, получим: $$ 4 v_0^2 m = m \left( 4v_0^2 - 4v_0 \frac{M}{m}u + \frac{M^2}{m^2}u^2 \right) + \frac{m M v_0^2}{M+m} + M u^2 $$ Сокращаем слагаемые и переносим: $$ 0 = -4 M u v_0 + \frac{M^2}{m} u^2 + \frac{m M v_0^2}{M+m} + M u^2 $$ Разделим на $M$ и приведем подобные слагаемые: $$ u^2 - 4 \frac{m}{M+m} u v_0 + \frac{m^2}{(M+m)^2} v_0^2 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $$ \sqrt{D} = \sqrt{ \left(4v_0 \frac{m}{M+m}\right)^2 - 4v_0^2 \frac{m^2}{(M+m)^2} } = 2v_0 \frac{m}{M+m} \sqrt{4-1} = 2\sqrt{3}v_0 \frac{m}{M+m} $$ Корни уравнения: $$ u = \frac{4 \frac{m}{M+m} v_0 \pm 2\sqrt{3}v_0 \frac{m}{M+m}}{2} = \frac{m}{M+m} v_0 (2 \pm \sqrt{3}) $$ При $v \ge v_0$ выбираем знак минус из условия минимума затраченной энергии доской: $$ u = (2 - \sqrt{3}) \frac{m}{M+m} v_0 $$ Ответ: $\frac{m v_0}{M+m} (2 - \sqrt{3})$