ЗСЭ и ЗСИ Часть 2: Часть 1

Задача 1

Условие

Девочка со снежным комом в руках съезжает на ледянке с постоянной скоростью v_1 с горы, имеющей уклон \alpha ( \cos \alpha = 7/8 ). Снежный ком выбрасывается через голову в направлении, обратном движению, и падает на склон горы, имея скорость v , направленную под углом \gamma ( \cos \gamma = 3/4 ) к горизонту. В результате этого ледянка с девочкой продолжают двигаться по горе со скоростью v_2 . Найти массу снежного кома. Общая масса девочки, ледянки и кома M .

1 Решение

1 \vec{Q} = \vec{N} + \vec{F}_{тр}. В проекции на ось Ox : Q_x = 0 , M g_x = 0 . Следовательно, выполняется закон сохранения импульса (З.С.И.) в проекции на ось Ox : M v_1 \cos\alpha = (M-m)v_2 \cos\alpha - m(v_{ко})_x. Так как g_x = 0 , горизонтальная составляющая скорости кома остается постоянной:

(v_{ко})_x = v_x = v \cos\gamma. Подставим это в уравнение З.С.И.: M v_1 \cos\alpha - M v_2 \cos\alpha = -m v_2 \cos\alpha - m v \cos\gamma. Выразим массу снежного кома m : m = M \frac{(v_2 - v_1)\cos\alpha}{v_2 \cos\alpha + v \cos\gamma} = \frac{7 M(v_2 - v_1)}{7 v_2 + 6 v}.

Ответ m=M \frac{7(v_2 - v_1)}{7 v_2 + 6 v}.

Задача 2

Условие

Труба длиной L вместе с водой имеет массу M . Она прикреплена к стене таким образом, что может свободно вращаться в вертикальной плоскости. Нижний конец трубы с площадью поперечного сечения S повёрнут на 90 градусов. В верхнюю часть трубы наливают воду таким образом, что из нижнего конца трубы выливается вода со скоростью v . Найдите угол, на который труба отклонится от вертикали. Плотность воды известна и равна \rho .

2 Решение

2 Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме для вытекающей воды. Возникающая реактивная сила равна: \vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t} = \frac{\Delta(m\vec{v})}{\Delta t} = v \frac{\Delta m}{\Delta t}. Масса вытекающей воды за время \Delta t \to 0 : \Delta m = \rho S v \Delta t. Подставляя, получаем:

F = \rho S v^2. Запишем правило моментов относительно точки подвеса (т. O ): M \frac{L}{2} g \sin\alpha = F L \implies \sin\alpha = \frac{2 \rho v^2 S}{M g}. Откуда находим угол отклонения: \alpha = \arcsin\left(\frac{2 \rho v^2 S}{M g}\right).

Ответ \alpha = \arcsin\left(\frac{2 \rho v^2 S}{M g}\right).

Задача 3

Условие

Кусок пластилина массой m = 32 г попадает в брусок массой 6m , двигающийся по горизонтальной поверхности стола, и прилипает к нему. Перед ударом скорость куска пластилина равна v = 7 м/с и направлена под углом \alpha = 60^\circ к горизонту, а скорость бруска равна v/4 и лежит в одной вертикальной плоскости со скоростью пластилина. Определить скорость бруска с пластилином после удара, если коэффициент трения бруска о поверхность \mu = 0,3 .

3 Решение

3 Изменение импульса системы равно импульсу внешних сил: \Delta\vec{p} = \sum \vec{F}_i \cdot \Delta t. Запишем уравнения в проекциях на оси координат. Ось Oy : \Delta p_y = \sum F_y \implies 0 - (-m v \sin\alpha) = N \cdot \Delta t. Ось Ox : (6m+m)u - m v \cos\alpha - 6m \frac{v}{4} = -\mu N \cdot \Delta t. Подставим выражение для N \cdot \Delta t из первого уравнения во второе: 7m u - m \left(v \cos\alpha + 1{,}5 v\right) = -\mu \cdot m v \sin\alpha. Сократим на m и выразим искомую скорость u :

7u = -\mu v \sin\alpha + v(\cos\alpha + 1{,}5); u = \frac{1}{7} v (\cos\alpha - \mu \sin\alpha + 1{,}5). Подставим числовые значения: u = \frac{1}{7} \cdot 7 \left(1{,}5 + 0{,}5 - 0{,}3 \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1{,}74 \,\, м/с.

Ответ u = 1{,}74 \,\, м/с.