Теорема Кенига

Система тел. Центр масс

Поговорим о системе тел, об их импульсе и расчёте энергии. Предположим, у нас есть некоторая совокупность тел, в нашем случае — четыре. Мы захотим объединить их в систему.

Для системы тел можно ввести понятие центра масс. Это некоторая воображаемая точка, которая, как правило, обозначается буквой C . Центр масс — это мысленная точка, в которую можно мысленно заменить всю массу системы, и которая движется как единое целое.

Возникает естественный вопрос: где находится эта точка?

Лабораторная (неподвижная) система отсчёта

1 Введём так называемую лабораторную систему отсчёта (ЛСО), её также называют неподвижной системой отсчёта (НСО). Например, это поверхность Земли и некоторые тела на ней. Свяжем с ней систему координат x,\, y,\, z .

В этой системе отсчёта задаётся радиус-вектор \vec{r}_C точки C — центра масс системы. Произвольная часть системы (или i -е тело) обладает массой m_i и радиус-вектором \vec{r}_i .

По определению радиус-вектор центра масс C определяется следующим соотношением: \vec{r}_C = \frac{\sum\limits_i m_i \vec{r}_i}{\sum\limits_i m_i}.

Скорость центра масс

Разделим обе части полученного соотношения на малый промежуток времени \Delta t . В левой части получится отношение радиус-вектора к малому промежутку времени, а при \Delta t \to 0 мы получаем величину скорости. Тогда соотношение принимает вид: \vec{V}_C = \frac{\sum\limits_i m_i \vec{V}_i}{M}, \qquad \Delta t \to 0, где M = \sum\limits_i m_i — масса всей системы (массу всей системы будем обозначать буквой M ), а \vec{V}_i — скорость i -й части системы.

Если говорить в проекциях, то радиус-вектор точки C меняется на x_C , а \vec{r}_i — на x_i ; аналогично y_C,\, y_i,\, z_C,\, z_i . Аналогично можно записать проекции для скоростей вдоль каждой оси.

Система отсчёта центра масс

С точкой C очень часто связывают систему отсчёта — введём её. Так как система движется, точка C тоже движется. Эту систему по традиции обозначим штрихованной: x',\, y',\, z' .

Тогда в этой системе отсчёта радиус-вектор i -й точки принимает обозначение \vec{r}'_i (относительный). Можем записать связь радиус-векторов: \vec{r}_C + \vec{r}'_i = \vec{r}_i.

То есть радиус-вектор i -й части системы в неподвижной (лабораторной) системе отсчёта равен сумме относительного радиус-вектора и так называемого переносного, то есть радиус-вектора положения центра масс.

Ключевое тождество для радиус-векторов в Ц-системе

Подставим это соотношение в формулу для \vec{r}_C : \vec{r}_C = \frac{\sum\limits_i m_i (\vec{r}_C + \vec{r}'_i)}{M}.

Поработаем с этим соотношением. Умножу левую и правую часть на M , чтобы избавиться от знаменателя, и в правой части раскрою скобки: M \vec{r}_C = \sum_i m_i \vec{r}_C + \sum_i m_i \vec{r}'_i.

Заметим: в первом слагаемом правой части, несмотря на то, что m_i будут разные, множитель \vec{r}_C один и тот же, его можно вынести за знак суммы: \sum_i m_i \vec{r}_C = \vec{r}_C \sum_i m_i = M \vec{r}_C.

Тогда в левой части M\vec{r}_C и в правой части M\vec{r}_C можно сократить, и мы приходим к заключению: \boxed{\sum_i m_i \vec{r}'_i = 0.}

Ключевое тождество для скоростей в Ц-системе

Вроде бы это соотношение пока ничего особенного не говорит. Но разделим его, по аналогии с тем, что мы делали для \vec{r}_C , на малое время \Delta t . При \Delta t \to 0 величина \vec{r}'_i / \Delta t даёт относительную скорость этой компоненты в Ц-системе. Получается: \boxed{\sum_i m_i \vec{V}_{i\,отн} = 0.}

Это соотношение, несущее в себе суммирование по индексу i , имеет большой смысл. Масса на скорость — это импульс. То есть в левой части стоит сумма импульсов всех частей системы в системе отсчёта, связанной с точкой C , то есть с центром масс. Получается, что внутри Ц-системы суммарный импульс системы равен нулю.

Закон сложения скоростей Галилея

2 Скажем, например, что точка C движется со скоростью \vec{V}_C , а i -я масса m_i обладает в лабораторной системе отсчёта некоторой скоростью \vec{V}_i . Тогда в штрихованной системе отсчёта (то есть в системе центра масс) она будет обладать некоторой относительной скоростью \vec{V}_{i\,отн} .

Сумма этих скоростей определяется по правилу сложения скоростей Галилея: \boxed{\vec{V}_i = \vec{V}_{i\,отн} + \vec{V}_C \quad (з.~Галилея).}

То есть скорость в лабораторной системе отсчёта \vec{V}_i равна сумме относительной скорости \vec{V}_{i\,отн} и переносной скорости \vec{V}_C (скорости системы C ).

Теорема Кёнига

Теорема Кёнига позволяет рассчитывать достаточно простым способом кинетическую энергию системы, если она участвует в сложном виде движения. Она помогает рассчитывать кинетическую энергию тела, например, когда оно одновременно участвует в двух видах движения — поступательном и вращательном.

Или позволяет определить кинетическую энергию системы, когда тело имеет сложную структуру, или система состоит из нескольких тел, каждое из которых движется по-своему, но мы можем определить, например, скорость центра масс (скорость точки C ), и в этой системе определить кинетическую энергию.

Формулировка теоремы Кёнига: \boxed{E_K = \frac{M V_C^2}{2} + \sum_i \frac{m_i V_{i\,отн}^2}{2}.}

То есть кинетическая энергия в лабораторной системе отсчёта равна кинетической энергии системы, движущейся со скоростью центра масс ( MV_C^2/2 ), плюс сумма всех кинетических энергий частей данной системы в системе отсчёта, связанной с центром масс.

Очень часто, как мы увидим на задачах, мы сможем определить скорость центра масс, а в системе отсчёта, связанной с центром масс, относительно легко определяются относительные скорости системы тел.

Доказательство теоремы Кёнига

Запишем кинетическую энергию по определению. Кинетическая энергия в лабораторной системе отсчёта равна: E_K = \sum_i \frac{m_i V_i^2}{2}.

Распишем V_i^2 . Вспоминаем, что \vec{V}_i — вектор, и используем свойство квадрата вектора: квадрат вектора есть квадрат его длины, то есть V_i^2 = \vec{V}_i \cdot \vec{V}_i .

С другой стороны, мы говорили о том, что если рассматриваем точку в двух системах отсчёта — лабораторной и связанной с движущимся центром масс — то справедливо соотношение Галилея. Подставим вместо \vec{V}_i это соотношение: V_i^2 = (\vec{V}_i)^2 = (\vec{V}_{i\,отн} + \vec{V}_C) \cdot (\vec{V}_{i\,отн} + \vec{V}_C).

Воспользуемся формулой квадрата суммы: V_i^2 = (\vec{V}_{i\,отн})^2 + 2\,\vec{V}_{i\,отн} \cdot \vec{V}_C + (\vec{V}_C)^2.

Чтобы получить соотношение для кинетической энергии, умножим всю левую и всю правую часть на m_i/2 и просуммируем по i . В левой части получится \sum\limits_i \dfrac{m_i V_i^2}{2} . В правой части каждое слагаемое умножается на m_i/2 , и снова используем теперь уже обратное свойство, что квадрат вектора равен квадрату его длины: \sum_i \frac{m_i V_i^2}{2} = \sum_i \frac{m_i V_{i\,отн}^2}{2} + \sum_i \frac{m_i \cdot 2 \vec{V}_{i\,отн} \cdot \vec{V}_C}{2} + \sum_i \frac{m_i V_C^2}{2}.

Заметим:

В левой части стоит кинетическая энергия системы в лабораторной системе отсчёта E_к .

Первое слагаемое в правой части — по сути дела сумма всех кинетических энергий тел с относительными скоростями в системе отсчёта, связанной с центром масс. Перепишем его так: \sum_i \frac{m_i V_{i\,отн}^2}{2}.

Третье слагаемое: в этой сумме квадрат скорости центра масс — одна и та же величина, поэтому её можно вынести за знак суммы. Под суммой останется только сумма масс всех частей системы, а это не что иное, как M : \sum_i \frac{m_i V_C^2}{2} = \frac{V_C^2}{2} \sum_i m_i = \frac{M V_C^2}{2}.

Поработаем со вторым слагаемым: двойку сокращаем, и воспользуемся тем же обстоятельством, что \vec{V}_C в этом произведении одна и та же — вынесем её за знак суммы: \sum_i \frac{m_i \cdot 2 \vec{V}_{i\,отн} \cdot \vec{V}_C}{2} = \vec{V}_C \cdot \sum_i m_i \vec{V}_{i\,отн}.

Заметим, что множитель \sum\limits_i m_i \vec{V}_{i\,отн} — это суммарный импульс всех частей системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. А как мы только что проговорили и доказали, эта величина равна нулю: \vec{V}_C \cdot \underbrace{\sum_i m_i \vec{V}_{i\,отн}}_{=\,0} = 0.

Таким образом, всё второе слагаемое равно нулю, и мы окончательно получаем выражение, которое называется теоремой Кёнига: \boxed{E_K = \frac{M V_C^2}{2} + \sum_i \frac{m_i V_{i\,отн}^2}{2}.}

То есть кинетическая энергия в лабораторной системе отсчёта равна сумме кинетической энергии центра масс в этой лабораторной системе плюс сумма относительных кинетических энергий в системе отсчёта центра масс.

Почему относительных? Потому что кинетическая энергия зависит от величины скорости. А мы помним и знаем, что величина скорости в разных системах отсчёта разная, поэтому и кинетическая энергия в разных системах отсчёта разная.

Ещё раз проговорим: теорема Кёнига позволяет относительно просто определять кинетическую энергию тела, которое участвует в сложном движении — например, кинетическую энергию поступательного и вращательного движения, когда они происходят одновременно, или определить кинетическую энергию в лабораторной системе отсчёта сложной системы тел.

Пример: кинетическая энергия катящегося колеса (обруча)

Рассмотрим пример, в котором теорема Кёнига позволяет определить кинетическую энергию. Предположим, у нас есть колесо массой m , которое движется без проскальзывания по некоторой горизонтальной поверхности со скоростью \vec{V} . Когда мы говорим, что колесо движется, то понимаем, что движется его центр (обозначим его C ) со скоростью \vec{V} . Надо найти кинетическую энергию.

3 Рассматривая движение колеса, мы видим: во-первых, оно смещается горизонтально, а во-вторых, прокручивается. То есть участвует в двух движениях — поступательном и вращательном. Как в этом случае определить кинетическую энергию тела? В этом нам поможет теорема Кёнига.

Напомним: теорема Кёнига говорит о том, что кинетическая энергия в лабораторной системе отсчёта складывается из кинетической энергии центра масс, движущегося со скоростью центра масс, и суммы относительных кинетических энергий в системе отсчёта центра масс.

Нахождение относительной скорости

Определим так называемую относительную скорость. Рассмотрим нижнюю точку колеса, назовём её точкой A . Так как колесо движется без проскальзывания, то получается, что в этой точке скорость относительно земли равна нулю. Эта же точка принадлежит и поверхности земли, и одновременно колесу.

Предположим, что колесо вращается с некоторой угловой скоростью \omega . Тогда можно заключить, что скорость точки A относительно центра равна \omega R . Но с другой стороны, это же должно быть равно скорости центра V (чтобы в ЛСО скорость точки A была нулём). То есть: V_A = \omega R = V.

Если я перейду в систему отсчёта, связанную с центром масс (штрихованную систему), то в этом случае каждая точка обладает относительной скоростью.

Но вопрос: что происходит с угловой скоростью? Угловая скорость определяет угол поворота за единицу времени. Давайте порассуждаем. Получается, что, предположим, в лабораторной системе отсчёта тело провернулось на угол \varphi . Но и относительно центра колеса оно тоже провернулось на угол \varphi . Тогда получается, что в этих двух системах отсчёта угловая скорость одна и та же.

Тогда мы получаем, что относительная скорость точек обода также: V_{отн} = \omega R = V.

То есть это та же скорость V , о которой мы уже проговорили.

Применение теоремы Кёнига

Запишем, что кинетическая энергия колеса определяется как кинетическая энергия центра масс плюс сумма кинетических энергий частей в этой системе: E_K = \frac{M V_C^2}{2} + \sum_i \frac{m_i V_{i\,отн}^2}{2}.

Подставим найденные соотношения. Колесо у нас обладает массой m , движется со скоростью V (центр масс — центр колеса — движется со скоростью V ). Значит, первое слагаемое — это \dfrac{m V^2}{2} . Плюс сумма по всем m_i всех частей колеса, умноженных на квадрат относительной скорости. Сама относительная скорость, как мы выяснили, тоже V : E_K = \frac{m V^2}{2} + \sum_i \frac{m_i V^2}{2}.

В последней сумме квадрат скорости можно вынести за знак суммы. Под знаком суммы остаётся только сумма масс, а сумма масс частей колеса (или обруча) даёт массу всего колеса, всего обруча: \sum_i \frac{m_i V^2}{2} = \frac{V^2}{2} \sum_i m_i = \frac{m V^2}{2}.

Тогда получается, что первое слагаемое \dfrac{m V^2}{2} , и второе слагаемое тоже \dfrac{m V^2}{2} . Сумма этих двух величин даёт окончательно: \boxed{E_K = m V^2.}

Таким образом, полная кинетическая энергия катящегося колеса (обруча) равна m V^2 .