Сообщающиеся сосуды

Задача 1 Условие Трубка квадратного сечения опущена в воду. В трубку поместили кубик со стороной $a$. На какой глубине находится нижняя грань кубика, если известно атмосферное давление $P_0$, плотность воды $\rho_{в}$ и плотность кубика $\rho_{к}$. Решение 1) $P = P_0 + \rho_{в} g H \quad (1)$ 2) $S = a^2 \quad (2)$ 3) $mg = a^3 \rho_{к} g \quad (3)$ 4) условие равновесия $$ PS = mg + P_0 S $$ Используя (1), (2), (3): $$ P_0 S + \rho_{в} g H S = mg + P_0 S $$ Т.к. $S = a^2$, то: $$ \rho_{в} a^2 H = \rho_{к} \cdot a^3 $$ $$ \rho_{в} H = a \rho_{к} $$ $$ H = \frac{a \rho_{к}}{\rho_{в}} $$ Ответ $\frac{a \rho_{к}}{\rho_{в}}$. Задача 2 Условие В U-образной трубке находится вода. Площадь сечения колен одинаковая. Уровень воды находится на 30 см ниже верхней части трубки. В левую трубку до самого верха доливают керосин. Найти высоту столба керосина в левой трубке. Решение В таких задачах всегда делайте 2 рисунка рядом. 1-е действие — условие несжимаемости: $$ V_1 = V_2 $$ $$ S \cdot h_1 = S \cdot h_2 $$ $$ h_1 = h_2 $$ 2-е действие — условие равновесия: $$ P_A = P_B $$ $$ P_0 + \rho_{к} \cdot h_{к} \cdot g = \rho_{в} \cdot 2h_1 \cdot g + P_0 $$ $$ \rho_{к} \cdot h_{к} = \rho_{в} \cdot 2h_1 $$ 3-е уравнение: т.к. $h_{к} = L + h_1$, то $h_1 = h_{к} - L$. $$ \rho_{к} \cdot h_{к} = \rho_{в} \cdot 2h_{к} - \rho_{в} \cdot 2L $$ $$ \rho_{в} \cdot 2L = h_{к} (2\rho_{в} - \rho_{к}) $$ $$ h_{к} = \frac{2\rho_{в} \cdot L}{2\rho_{в} - \rho_{к}} $$ $$ h_{к} = \frac{2 \cdot 10^3 \cdot 0,3 м}{2 \cdot 10^3 - 0,9 \cdot 10^3} = \frac{0,6 м}{1,1} = 0,545 м = 54,5 см $$ Ответ 54,5 см. Задача 3 Условие В U-образную трубку налита ртуть. В одно колено поверх ртути налили слой масла, а в другое колено — столб керосина. Высота столбика масла $h_{м} = 48 см$, керосина $h_{к} = 0,2 м$. Определить разность высот столбиков ртути в трубке. Решение $$ \rho_{м} \cdot g \cdot h_{м} = \rho_{к} \cdot g \cdot h_{к} + \rho_{рт} \cdot g \cdot 2h_{рт} $$ $$ \frac{\rho_{м} \cdot h_{м} - \rho_{к} \cdot h_{к}}{\rho_{рт}} = 2h_{рт} $$ $$ \frac{900 \cdot 0,48 - 800 \cdot 0,2}{13600} = 2h_{рт} $$ $$ \Delta 2h_{рт} = 0,02 м = 2 см $$ Ответ 2 см.