Неопределенный интеграл: Часть 3

Видео

Конспект

Интегрирование по частям

Существует еще один метод интегрирования, основанный на формуле производной (дифференциала) произведения двух функций. Действительно, d\left(u(x)v(x)\right) = d\left(u(x)\right)v(x)+d\left(v(x)\right)u(x). Интегрируя обе части соотношения и учитывая свойства интеграла 2 и 3, получаем, что u(x)v(x)=\int v(x) d \left(u(x)\right)+\int u(x) d \left(v(x)\right). Иначе, \int u'(x) v(x) dx = u(x) v(x) - \int v'(x) u(x) dx. Рассмотрим пример интеграла, который вычисляется методом интегрирования по частям \int x\sin x dx . В качестве функции u(x) выберем x , а в качестве v(x) - \sin x . Тогда \int x

\sin x dx = x(- \cos x)-\int (-\cos x ) dx =- x \cos x + \sin x + C.

Задача 1.17

Условие

Найдите интеграл \int (x+1)e^{x} dx .

Решение

\int (x+1)e^{x} dx=(x+1)e^x-\int e^x dx=(x+1)e^x-e^x+C. Ответ (x+1)e^x-e^x+C.

Пример 1.18

Условие

Найдите \int \ln x dx .

Решение

\int \ln x dx=\int \ln x\cdot 1\cdot dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln x-x+C. Ответ x\ln x-x+C.

В заключении отметим, что, в соответствии с определением первообразной, результат интегрирования можно проверить дифференцированием, то есть производная найденной первообразной должна представлять собой подынтегральную функцию.

Proiz_13 Пример 1.19

Условие

Пусть график скорости имеет вид, изображенный на рисунке 1. Исходя из этого графика, найдите зависимости координаты от времени и ускорения от времени и нарисуйте графики этих зависимостей, если в начальный момент времени пройденный путь равен нулю.

Решение

Разделим рассматриваемый промежуток на три участка 1 , 2 и 3 . На участке 1 график скорости представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, следовательно, зависимость скорости от времени представляет собой прямую пропорциональность v(t) = \frac{u}{t_1} t . Чтобы найти зависимость пути от времени, проинтегрируем v(t) : s(t) = \int v(t) dt = \int \frac{u}{t_1} t dt = \frac{1}{2} \frac{u}{t_1}

t^2 + s_0. Поскольку в начальный момент времени тело находилось в начале пути, то есть, s(0) = 0 , то получаем, что постоянная s_0=0 , и зависимость пути от времени на первом участке имеет вид s(t) = \frac{1}{2} \frac{u}{t_1}

t^2. Чтобы найти зависимость ускорения от времени, продифференцируем v(t) : a(t) = v'(t) = \frac{u}{t_1} Таким образом, на участке 1 тело движется равноускоренно без начальной скорости.

На участке 2 зависимость скорости от времени имеет вид v(t) =u . Отсюда вытекает, что зависимость пути от времени s(t) = \int v(t) dt = \int {u} dt = u t + s_1. В конечный момент времени для первого участка (то есть при t=t_1 ) пройденный путь был s(t_1) = \frac{1}{2} \frac{u}{t_1} t_1^2 =

\frac{1}{2} u t_1 . Очевидно, что он должен совпадать с пройденным путем в начале второго участка, поэтому

u t_1 + s_1 = \frac{1}{2} u t_1 ~~~\Rightarrow

постоянная s_1 = - \frac{1}{2} u t_1, следовательно s(t) = u t - \frac{1}{2} u t_1 . Зависимость ускорения от времени a(t) = v'(t) = u' =0, то есть на участке 2 движение равномерное.

На последнем участке скорость линейно зависит от времени, однако данная зависимость не является прямой пропорциональностью. Пусть v(t) = kt + b . Определим постоянные k и b с помощью условий v(t_2) = u и v(t_3) = 0 : \left\{\begin{array}{l}

k t_2 + b = u \\

k t_3 + b = 0

\end{array}\right.

\Leftrightarrow

\left\{\begin{array}{l}

k = -\frac{u}{t_3 - t_2}, \phantom{\int\limits_1} \\

b = \frac{u t_3}{t_3 - t_2}.

\end{array}\right. Отсюда вытекает, что v(t) = -\frac{u (t - t_3) }{t_3 - t_2}. Следовательно, s(t) = - \int \frac{u (t - t_3) }{t_3 - t_2} dt = - \frac{u }{t_3 -

t_2} \int (t - t_3) dt = - \frac{u }{t_3 - t_2} \left(

\frac{1}{2}~ t^2 - t t_3 \right) + s_2 Зависимость ускорения от времени a(t) = v'(t) = - \frac{u}{t_3 - t_2}. Аналогично предыдущему, координата в последний момент времени второго участка равна координате в начальный момент времени третьего участка, следовательно s_2 =-\frac{u}{2}\cdot \frac{t_2(t_2-t_1)+t_1t_3}{t_3-t_2} и s(t) = -\frac{u}{2}\cdot \frac{t_2(t_2-t_1)+t_1t_3}{t_3-t_2} +

\frac{u t_3 }{t_3 - t_2}~t -

\frac{u }{t_3 - t_2}~\frac{t^2}{2} Таким образом, на последнем участке движение равнозамедленное.

Окончательно, найденные зависимости пути и ускорения от времени имеют соответственно вид s(t) = \left\{\begin{array}{l}

\frac{1}{2} \frac{u}{t_1}t^2,~~ t \in [0, t_1], \\

u t - \frac{1}{2} u t_1,~~ t \in (t_1, t_2], \\

-\frac{u}{2}\cdot \frac{t_2(t_2-t_1)+t_1t_3}{t_3-t_2} +

\frac{u t_3 }{t_3 - t_2}~t -

\frac{u }{t_3 - t_2}~\frac{t^2}{2}, ~~ t \in (t_2, t_3],

\end{array} \right. a(t) = \left\{\begin{array}{l}

\frac{u}{t_1},~~ t \in (0, t_1), \\

0,~~ t \in (t_1, t_2), \\

- \frac{u}{t_3 - t_2}, t \in (t_2, t_3).

\end{array} \right.

Ответ см. последние две формулы.