Неопределенный интеграл: Часть 1

Видео

Конспект

Часто приходится не по заданной функции находить ее дифференциал или производную, а наоборот — возникает задача восстановления функции по известным дифференциалу или производной. Например, пусть задана скорость движения объекта, по которой нужно найти пройденный путь в зависимости от времени, то есть найти ту функцию s=s(t) , для которой производной будет v(t) .

Неопределенный интеграл

Пусть функция y = f(x) определена на некотором промежутке X .

Определение 1.1

Функция F(x) на данном промежутке называется первообразной функцией для функции f(x) , если на всем этом промежутке функция f(x) является производной для F(x) , или, что то же самое, f(x)dx служит для F(x) дифференциалом F'(x)=f(x) \quad или \quad dF(x)=f(x)dx. Нахождение всех первообразных функции называется ее интегрированием.

Теорема 1.2

Если на некотором промежутке функция F(x) есть первообразная для функции f(x) , то и функция F(x)+C , где C - любая постоянная, также будет первообразной для f(x) .

Доказательство

Данное утверждение очевидно, если учесть, что (F(x)+C)'=F'(x)=f(x). Обратное утверждение также верно, однако его доказательство выходит за рамки данного пособия.

Таким образом, достаточно найти одну первообразную, любая другая первообразная будет отличаться от нее на константу. Выражение F(x)+C , где C - произвольная постоянная, представляет собой общий вид функции, имеющей производную f(x) или дифференциал f(x)dx .

Определение 1.3

Совокупность всех первообразных \left( F(x)+C \right) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается \int f(x)dx.

Пример 1.1

Условие

Пусть f(x)=x^2 ; тогда, как нетрудно видеть, неопределенный интеграл от этой функции будет \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C. Это можно легко проверить дифференцированием.

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства:

d \int f(x) dx = f(x) dx , то есть здесь знаки интеграла и дифференциала <<взаимно сокращаются>>.

В силу того, что F(x) есть первообразная функции F'(x) , то имеем \int F'(x) dx = F(x) + C, или \int d F(x) = F(x) + C. Отсюда видим, что знаки d и \int , стояшие перед F(x) , сокращаются и тогда, когда d стоит после \int , но только к F(x) нужно прибавить произвольную постоянную.

Учитывая, что производная суммы равна сумме производных (u\pm v{)}' = {u}'\pm {v}' и (cu{)}' = c{u}' , получаем очевидное свойство интегралов: \int \left[C_1 u(x) \pm C_2 v(x) \right] dx =

C_1 \int u(x) dx \pm C_2 \int v(x) dx

Возвращаясь к примеру вычисления скорости и пути в зависимости от времени, можно найти путь в зависимости от времени s(t) = \int v(t) dt+C, где константа C должна быть найдена из дополнительных условий. Например, такого, что путь был равен S_0 в момент времени t_0 .

Пример 1.2

Условие

Найдите интеграл \int\left(2x-x^{5}\right) dx .

Решение

\int\left(2x-x^{5}\right) dx=\int 2x dx-\int x^{5} dx=2\cdot\frac{x^2}{2}-\frac{x^6}{6}+C. Ответ 2\cdot\frac{x^2}{2}-\frac{x^6}{6}+C.

Задача 1.3

Условие

Найдите интеграл \int\left(3x+x^{3}\right) dx .

Решение

\int\left(3x+x^{3}\right) dx=\int 3xdx+\int x^3 dx=3\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}+C. Ответ 3\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}+C.