Неопределенный интеграл: Часть 2
Математика, 11 класс
Из имеющейся таблицы дифференциалов некоторых элементарных функций можно получить таблицу интегралов: \int {1dx = x + C} ; \int {0dx = C} ; \int {x^adx = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C},\quad a\ne -1 ; \...
Видео
Конспект
Из имеющейся таблицы дифференциалов некоторых элементарных функций можно получить таблицу интегралов:
\int {1dx = x + C} ;
\int {0dx = C} ;
\int {x^adx = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C},\quad a\ne -1 ;
\int {\frac{1}{x }dx}=\ln |x|+C ;
\int {\sin xdx = - \cos x + C} ;
\int {\cos xdx = \sin x + C} ;
\int {\frac{1}{\cos ^2x}dx = \tg x + C} ;
\int {\frac{1}{\sqrt {1 - x^2} }dx = \left\{ {\begin{array}{l}
\arcsin x + C, \\
- \arccos x + C ;\\
\end{array}} \right.}
\int \frac{1}{1 + x^2}dx = \left\{ {\begin{array}{l}
\arctg x + C, \\
- \arcctg x + C. \\
\end{array}} \right.
\int {a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C} ;
\int {e^x dx = e^x + C} .
Задача 1.4
Условие
Проверьте справедливость формул, приведенных выше, дифференцированием. При вычислении неопределенных интегралов в простейших случаях достаточно воспользоваться табличными интегралами и свойствами интегралов.
Пример 1.5
Условие
Найдите интеграл \int\left(1+x^{2}\right)^2 dx .
Решение
Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой из функций, поэтому представим наш интеграл как сумму интегралов, воспользовавшись формулой квадрата суммы. Пользуясь таблицей интегралов,получаем: \int \left( 1 + x^{2} \right)^2dx = \int \left(1+2x^2+x^4\right)dx =
x+2\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+C.
Ответ x+2\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+C.
Задача 1.6
Условие
Найдите интеграл \int \left(2-x^3\right)^2 dx .
Решение
\int \left(2-x^3\right)^2 dx=\int \left(4-4x^3+x^6\right)dx= 4x-x^4+\frac{x^7}{7}+C. Ответ 4x-x^4+\frac{x^7}{7}+C.
Пример 1.7
Условие
Найдите интеграл \int\left(2\sin x+3\cos x\right) dx .
Решение
Воспользуемся табличными значениями для интеграла от синуса и косинуса, а также правилами интегрирования суммы функций: \int\left(2\sin x+3\cos x\right) dx=-2\cos x+3\sin x+C.
Ответ -2\cos x+3\sin x+C.
Задача 1.8
Условие
Найдите интеграл \int \left(3\sin x-4 \cos x\right) dx .
Решение
\int \left(3\sin x-4 \cos x\right) dx =-3\cos x-4\sin x+C. Ответ -3\cos x-4\sin x+C.
Иногда для того, чтобы можно было применить формулы для табличных интегралов, нужно преобразовать подынтегральное выражение.
Пример 1.9
Условие
Найдите интеграл \int\cos^2 \frac{x}{2} dx .
Решение
\int\cos^2 \frac{x}{2} dx=\int \frac{1+\cos x}{2} dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin x+C. Ответ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin x+C.
Задача 1.10
Условие
Найдите интеграл \int \sin^2 \frac{x}{2}dx .
Решение
\int \sin^2 \frac{x}{2}dx=\int \frac{1-\cos x}{2} dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x+C. Ответ \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x+C.
Пример 1.11
Условие
Найдите интеграл \int \left(2^{x+1}-3^{2x-1}\right) dx .
Решение
\int \left(2^{x+1}-3^{2x-1}\right) dx =\int \left(2\cdot 2^{x} -\frac{1}{3}9^{x}\right) dx=2\cdot \frac{2^x}{\ln 2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{9^x}{\ln 9}+C. Ответ 2\cdot \frac{2^x}{\ln 2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{9^x}{\ln 9}+C.
Задача 1.12
Условие
Найдите интеграл \int \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}+\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1}\right) dx .
Решение
\int \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}+\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1}\right) dx= \int \left(3\left(\frac{1}{3}\right)^{x}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\right) dx=3\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{x}}{\ln\frac{1}{3}}+\frac{1}{4}\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^{x}}{\ln\frac{1}{4}}+C. Ответ 3\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{x}}{\ln\frac{1}{3}}+\frac{1}{4}\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^{x}}{\ln\frac{1}{4}}+C.
Выше мы применяли алгебраические преобразования подынтегральной функции, после чего можно было пользоваться табличными интегралами. Однако, если бы, например, под интегралом стояла функция \cos^{2}x , то после преобразования по формуле косинуса двойного угла мы получили бы в подынтегральном выражении \cos 2x . Вообще говоря, здесь нам требуется сделать замену переменной в интеграле, хотя первообразную можно и угадать. Заменяя переменную x на t=2x , необходимо учесть, что выражение dx тоже должно измениться. В соответствии с правилом взятия дифференциала, dx = d \frac{t}{2} =
\frac{dt}{2} . Тогда \int \cos 2x dx = \int \cos t \frac{dt}{2} =
\frac{1}{2} \int \cos t dt = \frac{1}{2} \sin t + C =
\frac{1}{2} \sin 2x + C.
Пример 1.13
Условие
Найдите интеграл \int \left(2x+3\right)^{11} dx .
Решение
Замена переменных t=2x+3;\quad dt =2dx дает возможность легко вычислить интеграл. \int \left(2x+3\right)^{11} dx=\int\frac{1}{2}t^{11}dt=\frac{t^{12}}{24}+C=\frac{(2x+3)^{12}}{24}+C.
Ответ \frac{(2x+3)^{12}}{24}+C.
Задача 1.14
Условие
Найдите интеграл \int (x+1)^{10} dx .
Решение
Здесь замена t=x+1;\quad dt=dx . \int (x+1)^{10} dx=\int t^{10} dt=\frac{t^{11}}{11}+C=\frac{(x+1)^{11}}{11}+C.
Ответ \frac{(x+1)^{11}}{11}+C.
Пример 1.15
Условие
Рассмотрим еще одну задачу на замену переменной в интеграле. Найдем интеграл \int\sin x\cos x dx двумя способами,с двумя разными заменами переменной.
1) \int\sin x\cos x dx=\int\frac{\sin 2x }{2}dx=\int\frac{1}{2} \frac{\sin 2x }{2}d(2x)=-\frac{1}{4}\cos 2x +C. 2) \int\sin x\cos x dx=[\sin x=z;\quad dz=\cos x dx]=\int zdz=\frac{z^2}{2}+C=\frac{\sin^2 x}{2}+C. На первый взгляд ответы разные, но за счет константы удается преобразовать один ответ к другому.
Пример 1.16
Условие
Рассмотрим еще одну задачу на замену переменной в интеграле. Пусть нужно найти первообразную для функции \frac{1}{x^{2}+9} . Для того, чтобы использовать табличный интеграл, где первообразной является \arctg x , проведем следующие преобразования: \frac{1}{x^{2}+9} = \frac{1}{9\left( \frac{x^{2}}{9}+1 \right)} =
\frac{1}{9 \left( \left( \frac{x}{3} \right)^{2}+1 \right)}. Становится очевидной замена t = \frac{x}{3} . Тогда x=3t , dx = 3 dt , \int \frac{1}{x^{2}+9} dx = \frac{1}{3} \int
\frac{1}{t^{2}+1 } dt =
\frac{1}{3} \arctg t + C =
\frac{1}{3} \arctg \frac{x}{3} + C.