Определенный интеграл: Часть 1

Видео

Конспект

Определенный интеграл

Определенный интеграл от функции f(x) можно рассматривать как площадь под кривой, заданной этой функцией на некотором отрезке с учетом знака. Строгое определение интеграла будет дано в курсе математического анализа.

Рассмотрим задачу об определении площади области под графиком функции. Пусть на промежутке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x) , принимающая лишь неотрицательные значения. Рассмотрим фигуру ABCD , ограниченную кривой y=f(x) , двумя прямыми x=a и x=b и отрезком оси Ox . Она называется криволинейной трапецией.

Для определения площади этой фигуры рассмотрим сначала фигуру ABKL , ограниченной кривой y=f(x) , двумя прямыми x=a , отрезком оси Ox и прямой x= x_{0} . Выбирая разные x_{0 } , мы получим разные значения площади фигуры, следовательно она является фигурой с переменной площадью, зависящей от x_{0} . Обозначим площадь этой фигуры как P(x_{0}) .

Integr_1 Сначала попробуем найти производную этой функции. Для этого, в соответствии с определением производной, необходимо рассмотреть приращение функции P(x_{0}) . Обозначим через m и M наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [x_0,x_0+\Delta x] . Тогда очевидно, что площадь \Delta P будет заключена между площадями прямоугольников с основанием \Delta x и высотами m и M соответственно: m \Delta x < \Delta P < M \Delta x, откуда m < \frac{\Delta P}{\Delta x} < M. Если приращение аргумента \Delta x будет стремиться к нулю, то m и M будут стремиться к f(x_0) , и тогда P'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta P}{\Delta x}

= f(x_0) Здесь x_0 принимает произвольные значения от a до b .

Таким образом, можно сформулировать теорему:

Теорема 2.1

Производная от переменной площади P(x) есть функция f(x) , иначе P'(x) = f(x).

Другими словами, переменная площадь представляет собой первообразную для функции f(x) . Первообразная, как было сказано выше, определяется <<с точностью до константы>>. Интересующая нас первообразная выделяется среди остальных тем, что она, очевидно, обращается в ноль при x=a . Таким образом, получаем , что если произвольную первообразную записать в виде P(x) = F(x) + C , то постоянную C можно найти, положив x=a . Очевидно, что C = -

F(a) . Если необходимо найти площадь всей криволинейной трапеции ABCD , нужно взять x=b : P = F(b) - F(a). Эта формула называется формулой Ньютона–Лейбница. Для распространения всего вышеизложенного на случай функций, принимающих и отрицательные значения, достаточно условиться считать отрицательными площади тех частей фигуры, которые расположены под осью Ox .

Итак, приведем стандартный вид формулы Ньютона–Лейбница: \int\limits_a^b f(x) dx = \left. \vphantom{F^F} F(x) \right|^b_a = F(b)-F(a), где F(x) - первообразная для функции f(x) . Для вычисления определенного интеграла обычно используется следующий подход: сначала ищут первообразную для подынтегральной функции, а потом применяют формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 2.1

Условие

Вычислите площадь под графиком функции y = \sin x на отрезке x \in [0,\pi] .

Решение

\int\limits_0^{\pi} \sin x dx = - \cos x \mid^{\pi}_0 = -

\cos \pi + \cos 0 = 2. Ответ 2.

Задача 2.2

Условие

Вычислите площадь под графиком функции y = \cos x на отрезке x \in [0,\frac{\pi}{2}] .

Решение

\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \sin x \mid^{\frac{\pi}{2}}_0 = 1. Ответ 1.

Задача 2.3

Условие

Вычислите площадь под графиком функции y = \cos x на отрезке x \in [0,\pi] .

Решение

\int\limits_0^{\pi} \cos x dx = \sin x \mid^{\pi}_0 = \sin \pi - \sin 0 = 0. Ответ 0.

Пример 2.4

Условие

На рис. изображён график некоторой функции y=f(x) . Функция F(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x^2-5x+13 — одна из первообразных функции f(x) . Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение

Как было сказано выше, площадь фигуры под графиком функции y=f(x) при x , меняющемся от a до b , по формуле Ньютона–Лейбница равна разности значений первообразной F(b)-F(a) . Тогда S=F(5)-F(1)= -\frac{125}{3}+3\cdot 25-5\cdot 5 +13-\left(-\frac{1}{3}+3\cdot 1-5\cdot 1 +13\right)= -\frac{124}{3}+52=\frac{32}{3}.

Ответ -\frac{124}{3}+52=\frac{32}{3}.

Задача 2.5

Условие

Вычислите заштрихованную площадь под графиком функции, изображенной на рис.

Решение

Согласно приведенной выше формуле для площади \begin{array}{l}

S = \int\limits_1^{7} f(x) dx = F(7) - F(3) = \\

\qquad = - \frac{7^3}{3} + 4 \cdot 7^2 - 7 \cdot 7 + 11 -

\left( - \frac{1}{3} + 4 - 7 + 11 \right) = 36.

\end{array}

Ответ 36 .

Пример 2.6

Условие

Найдите интеграл \int\limits_0^2 (x+1)^{10} dx .

Решение

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразная функции y=(x+1)^{10} была найдена выше, она равна \frac{(x+1)^{11}}{11} . Тогда \int\limits_0^2 (x+1)^{10} dx = \left.\frac{(x+1)^{11}}{11} \right|^2_0 = \frac{3^{11}-1}{11}.

Ответ \frac{3^{11}-1}{11}.

Пример 2.7

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y = f(x) . Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл \int\limits_{-7}^{-1} f(x) dx .

Proiz_35

Решение

Интеграл равен площади под кривой, следовательно, это площадь трапеции: \int\limits_{-7}^{-1} f(x) dx=\frac{6+4}{2}\cdot 3=10.

Ответ 10 .

Задача 2.8

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y = f(x) . Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл \int\limits_{0}^{6} f(x) dx .

Proiz_36 Решение

Интеграл равен площади под кривой, следовательно, это площадь трапеции: \int\limits_{0}^{6} f(x) dx=\frac{6+4}{2}\cdot 3=10.

Ответ 10 .