Определенный интеграл: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 2.9

Условие

Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2, \; x + y =2.

Решение

Proiz_26 Найдем точки пересечения этих кривых (рис. 5): \left\{ \begin{array}{l}

y = x^2, \\

y = 2 - x, \\

\end{array} \right.~

\Longleftrightarrow~

\left\{ \begin{array}{l}

x^2 + x - 2 = 0, \\

y = 2 - x, \\

\end{array} \right.~

\Longleftrightarrow~

\left[\begin{array}{l}

\left\{ \begin{array}{l}

x = - 2, \\

y = 4, \\

\end{array} \right.\\

\left\{ \begin{array}{l}

x = 1, \\

y = 1. \\

\end{array} \right.

\end{array} \right. Площадь фигуры, ограниченной указанными кривыми, может быть найдена как разность площадей под прямой y = 2 - x и параболой y = x^2 на отрезке [-2; 1] : \begin{array}{l}

S = S_1 - S_2 = \int\limits_{-2}^1 (2 - x) dx - \int\limits_{-2}^1 x^2 dx =

\int\limits_{-2}^1 \left( 2 - x - x^2 \right) dx = \\

\qquad = \left. \left( 2x - \frac{x^2}{2} -

\frac{x^3}{3} \right) \right|^1_{-2} =

\left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 4 + 2 - \frac{8}{3} \right) = 4,5. \vphantom{\int\limits^1}

\end{array}

Ответ 4,5 .

Задача 2.10

Условие

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x + 3, \; y = 0.

Решение

Найдем интеграл от заданной функции на отрезке [1;3] . Он, взятый со знаком минус, будет равен искомой площади.

\int\limits_1^3 (x^2 - 4x + 3)dx=\frac{x^3}{3}-4\frac{x^2}{2}+3x\big |^3_{1}=9-18+9-\left(\frac{1}{3}-2+3\right)=-\frac{4}{3}. Площадь тогда равна \frac{4}{3}.

Ответ 1 \frac{1}{3} .