Тригонометрическая и показательная форма. Извлечение корня n-ной степени: Часть 3

Видео

Конспект

Показательная форма комплексного числа

Определим e^{ix} , где x — любое действительное число, как e^{ix}={\cos x+i\sin x}. Это соотношение называют формулой Эйлера.

Тогда e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi , и мы получаем z =x+iy= r e^{i\varphi} - комплексное число в показательной (экспоненциальной) форме, где r=\sqrt{x^2+y^2} , \varphi — угол, образованный радиус-вектором, проведенным из начала координат в точку c координатами (x;y) , с осью Ox .

Теорема 5.1 Пусть \varphi , \psi \in \mathbb{R} , k\in \mathbb{Z} .

Тогда

1) e^{i\cdot 0}=1 ;) e^{i\varphi}\cdot e^{i\psi}=e^{i\left(\varphi+\psi\right)} ;) e^{i\left(\varphi+2\pi k\right)}=e^{i\varphi} ;) e^{-i\varphi}=\frac{1}{e^{i\varphi}} ;) \left|e^{i\varphi}\right|=1 .

Доказательство

1) e^{i\cdot 0}=\cos(0)+i\sin(0)=1 . Остальные утверждения теоремы доказываются с помощью формулы Эйлера аналогично.

Пример 5.1

Условие

Представить комплексное число в показательной форме:

а) z=1 : |1| =1 , \arg 1=0 ; 1=1 \cdot (\cos 0 +i \sin 0)= 1 \cdot e^{i\cdot 0} ;

б) z=i : |i| =1 , \arg i=\frac{\pi}{2} ; i=1\cdot\left(\cos \frac{\pi}{2} +i \sin \frac{\pi}{2}\right)= 1\cdot e^{i\frac{\pi}{2}} ;

в) z = - e^{i\varphi} : -e^{i\varphi} = (- 1) \cdot e^{i\varphi} =1 \cdot e^{i\pi} \cdot e^{i\varphi} =1 \cdot e^{i(\pi + \varphi)} , следовательно, \left| - e^{i\varphi}\right| =1 , \arg \left(-e^{i\varphi}\right)= \pi+\varphi .

Задача 5.2

Условие

Представьте комплексное число в показательной форме:

а) z=e^{i\varphi} ; б) z=-1 ; в) z=-i .

Ответ а) 1 \cdot e^{i\varphi} ; б) 1\cdot e^{i\pi} ;в) 1\cdot e^{\frac{3\pi i}{2}} .

e^{i\cdot 0}=1 ; e^{i\cdot\frac{\pi}{2}}=i ; e^{i\cdot \pi}=-1 ; e^{i\cdot\frac{3\pi}{2}}=e^{-i\cdot\frac{\pi}{2}}=-i .

Возвести в степень и извлечь корень из комплексного числа можно, используя формулу Эйлера: z^n=\left(r e^{i\varphi}\right)^n=r^n e^{i n\varphi}; \sqrt[n]z=\sqrt[n]{r e^{i\varphi+2\pi k}}=\sqrt[n]{r} e^{\frac{i\varphi+2\pi k}{n}}.

Пример 5.3

Условие

Вычислить \left(-2+2i\right)^4 .

Решение

\left(-2+2i\right)^4=\left(2\sqrt 2 e^{i\frac{3\pi}{4}}\right)^4=2^6 e^{3\pi i}=64(\cos 3\pi+i\sin 3\pi)=-64. Ответ -64.

Задача 5.4

Условие

Вычислите \left(-1-\sqrt 3 i\right)^{13}.

Решение

-1-\sqrt 3 i=2 e^{\frac{4\pi}{3}} . Тогда \left(-1-\sqrt 3 i\right)^{13}= e^{13\frac{4\pi}{3}}=2^{13}\left(\cos(16 \pi+\frac{4\pi}{3})+i\sin(16 \pi+\frac{4\pi}{3})\right)= =2^{13}\left(\cos(\frac{4\pi}{3})+i\sin(\frac{4\pi}{3})\right)=2^{13}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\right).

Ответ 2^{13}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\right).

Для решения следующего уравнения воспользуемся формулой для извлечения корня.

Пример 5.5

Условие

Решить уравнение z^4+1=0 .

Решение

z^4=-1\Longleftrightarrow z^4=e^{i(\pi+2\pi k)}\Longleftrightarrow z=e^{i\frac{\pi+2\pi k}{4}}, где k=0,1,2,3 . Найдем эти корни.

k=0: \quad z_1=e^{i\frac{\pi}{4}}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}; k=1: \quad z_1=e^{i\frac{3\pi}{4}}=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}; k=2: \quad z_1=e^{i\frac{5\pi}{4}}=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt 2}{2}-i\frac{\sqrt 2}{2}; k=3: \quad z_1=e^{i\frac{7\pi}{4}}=\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt 2}{2}-i\frac{\sqrt 2}{2}. Для k=4 корень совпадет с корнем для k=0 .

Ответ z=e^{i\frac{\pi+2\pi k}{4}}, \quad k=0, \; 1, \; 2, \; 3.

Задача 5.6

Условие

Решить уравнение z^3+8=0 .

Решение

z^3=-8\Longleftrightarrow z^3=8e^{i(\pi+2\pi k)}\Longleftrightarrow z=2e^{i\frac{\pi+2\pi k}{3}}, где k=0,1,2 . Найдем эти корни.

k=0: \quad z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}=2\cos\frac{\pi}{3}+2 i\sin \frac{\pi}{3}=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}\right)=1+i\sqrt 3; k=1: \quad z_1=2e^{i\frac{3\pi}{3}}=2\cos\frac{3\pi}{3}+2 i\sin \frac{3\pi}{3}=2(-1+0)=-2; k=2: \quad z_1=2e^{i\frac{5\pi}{3}}=2\cos\frac{5\pi}{3}+2 i\sin \frac{5\pi}{3}=2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}\right)=1-i\sqrt 3; Для k=3 корень совпадет с корнем для k=0 .

Ответ z=2e^{i\frac{\pi+2\pi k}{3}}, \quad k=0, \; 1, \; 2.