Основные операции над комплексными числами и геометрическая интерпретация: Часть 1

Видео

Конспект

Основные операции над комплексными числами

Определение 1.1

Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел z=(a;b) . Первое число a=\mathrm{Re}\ z называется действительной частью комплексного числа, второе число b=\mathrm{Im}\ z называется мнимой частью комплексного числа.

Два комплексных числа z_1 =(a_1; b_1 ) и z_2 =(a_2; b_2 ) считаются равными, если равны их действительные и мнимые части: z_1 = z_2\quad \Longleftrightarrow\quad a_1 = a_2,~~ b_1 = b_2.

Суммой двух комплексных чисел \boldsymbol{z_1 =(a_1; b_1 )} и \boldsymbol{z_2 =(a_2; b_2 )} называется число \ z_1 + z_2 =(a_1 + a_2; b_1 + b_2).

Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число z_1z_2=(a_1a_2-b_1b_2;a_1b_2+b_1a_2).

Действительные числа являются частью множества комплексных чисел и имеют вид a=\left(a;0\right) .

Произведение действительного числа a и комплексного (b;c) есть a\cdot (b;c)=(ab;ac) .

Пример 1.1

Условие

Умножить число (0;1) само на себя.

Решение

(0;1)\cdot(0;1)=(0\cdot 0-1\cdot 1;1\cdot 0+0\cdot 1)=(-1;0)=-1. Ответ -1 .

Таким образом, квадрат комплексного числа (0;1) равен -1 . Такое число, очевидно, не являющееся действительным, называется мнимой единицей и обозначается буквой i .

Любое комплексное число z=(a;b) в соответствии с приведенными определениями можно представить как (a,b)=(a;0)+(0;b)=a \cdot (1;0)+b\cdot (0;1)=a+ib. Это алгебраическая форма комплексного числа.

Операция вычитания определяется, опираясь на уже введенные операции сложения и умножения на число: z_1-z_2=z_1+(-1)\cdot z_2 = (a_1-a_2; b_1-b_2).

Легко видеть, что операции сложения (вычитания) и умножения комплексных чисел могут быть произведены в алгебраической форме по обычным правилам работы со скобками.

Сложение: \begin{array}{l}

z_1+z_2 = (a_1; b_1)+ (a_2; b_2) \equiv (a_1+a_2; b_1+b_2)

\quad\Longleftrightarrow \quad \\

z_1+z_2 = (a_1+ib_1) + (a_2+ib_2) = a_1+ib_1 + a_2+ib_2 = \\

= (a_1+a_2) + i(b_1+b_2) = (a_1+a_2, b_1+b_2) \, ;

\end{array} умножение: \begin{array}{l}

z_1 \cdot z_2 = (a_1; b_1) \cdot (a_2; b_2) \equiv

(a_1 a_2 - b_1 b_2; a_1 b_2 + b_1 a_2 )

\quad\Longleftrightarrow \quad \\

z_1 \cdot z_2 = (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2) =

a_1 a_2+ia_1 b_2 + ib_1 a_2 + i^2 \cdot b_1 b_2 = \\

= (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + b_1 a_2) =

(a_1 a_2 - b_1 b_2; a_1 b_2 + b_1 a_2) \, .

\end{array}

Пример 1.2

Условие

Найдите сумму, разность и произведение комплексных чисел z_1=2+3i и z_2=1-i .

Решение

z_1+z_2=2+3i+1-i=3+2i; z_1-z_2=2+3i-1+i=1+4i; z_1\cdot z_2=(2+3i)(1-i)=2+3i-2i-3i^2=2+i-3(-1)=5-i.

Ответ 5-i.

Задача 1.3

Условие

Найдите сумму, разность и произведение комплексных чисел z_1=-1-2i и z_2=4+i .

Решение

z_1+z_2=-1-2i+4+i=3-i; z_1-z_2=-1-2i-4-i=-5-3i; z_1\cdot z_2=(-1-2i)(4+i)=-4-8i-i-2i^2=-4-9i-2(-1)=-2-9i.

Ответ 3-i; \quad -5-3i; \quad -2-9i.

Комплексно сопряженным числом к z=a+\ ib называют комплексное число \overline{z}=a-ib .

Пример 1.4

Условие

Доказать, что |z|^2 = z \cdot \overline z

Доказательство

\begin{array}{l}

z \cdot \overline z = (a+ib) \cdot (a-ib) =

a^2+ i(-i)b^2 + ib a - a ib = {a^2+b^2} \, .

\end{array} Операцию деления комплексных чисел определим как обратную к операции умножения: число z=(a;b) называется частным от деления z_1=(a_1;b_1) на z_2=(a_2;b_2) , если z\cdot z_2=z_1.

Частное двух чисел можно получить, используя умножение на комплексно сопряженное к знаменателю число, т.е. \frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \cdot \overline z_2}{|z_2|^2}= \frac{(a_1+ib_1)(a_2-ib_2)}{a^2_2+b^2_2} =

\frac{a_1a_2+b_1b_2+i(b_1a_2- a_1b_2)}{a^2_2+b^2_2}. Действительно, \frac{z_1 \cdot \overline z_2 }{|z_2|^2} \cdot z_2 =

\frac{z_1 \cdot (\overline z_2 \cdot z_2)}{|z_2|^2} = z_1 так как z_2 \cdot \overline z_2 = |z_2|^2 .

Пример 1.5

Условие

Вычислить \frac{2-i}{1+3i} , представив результат в алгебраической форме.

Решение

\frac{2+i}{1-3i}=\frac{(2+i)(1+3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\frac{2+i+3i\cdot 2 +3(-1)}{1+9}=-0,1+0,7i. Ответ -0,1+0,7i.

Задача 1.6

Условие

Вычислите \frac{1-3i}{2+i} , представив результат в алгебраической форме.

Решение

\frac{1-3i}{2+i}=\frac{(2-i)(1-3i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{2-6i-i-3}{5}=-\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i. Ответ -\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i.

Полезно помнить

i^2=-1 , i^3=-i , i^4=1 .