Основные операции над комплексными числами и геометрическая интерпретация: Часть 2

Видео

Конспект

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Будем рассматривать комплексное число z=\left(x;y\right) как точку на плоскости с координатами (x;y) . Назовем эту плоскость комплексной плоскостью, \ x=\mathrm{Re}\ z , \ y=\mathrm{Im}\ z

Ris_1 Таким образом, между комплексными числами и точками на комплексной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие. Также можно ставить в соответствие комплексным числам не точки на комплексной плоскости, а векторы, идущие из начала координат в точку z=\left(x;y\right).

Расстояние от начала координат до точки z=\left(x,y\right) , \rho=\sqrt{x^2+y^2} = |z| есть модуль комплексного числа. Модуль равен длине вектора, исходящего из начала координат, с концом в точке \left(x;y\right) .

Угол, отсчитываемый от оси Ox против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа ( \boldsymbol{\mathrm{Arg} \, z} ). Отметим, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до аддитивного слагаемого: \mathrm{Arg} \, z = \arg z + 2\pi n , n \in \mathbb{Z} , \varphi = \arg z \in [0; 2\pi ) .

Некоторые простейшие множества точек на комплексной плоскости

а) \left| z-z_{0} \right| = a \ (a>0) - окружность с центром в точке {z}_{0} радиуса a ;

б) \left| z-z_{0} \right| < a \ (a>0) - открытый круг с центром в точке {z}_{0} радиуса a ;

в) \left| z-z_{0} \right| > a \ (a>0) - область вне круга с центром в точке {z}_{0} радиуса a ;

г) a<\left| z-z_{0} \right| <b \ (0<a<b) - открытое кольцо с центром в точке {z}_{0} ;

д) \arg(z-z_{0})= \varphi - луч, с началом в точке {z}_{0} , идущий под углом \varphi к положительному направлению действительной оси;

е) \alpha <\arg(z-z_{0}) < \beta - внутренность сектора с вершиной в точке {z}_{0 } и углом \beta-\alpha ;

ж) \mathrm{Re}\ z = a - прямая, параллельная мнимой оси, проходящая через точку (a;0) ;

з) \mathrm{Im}\ z = b - прямая, параллельная действительной оси, проходящая через точку (0;b) .

Ris_2 Сложение двух комплексных чисел можно рассматривать как сложение двух векторов на плоскости, аналогично с вычитанием (рис. 2). При этом справедливы неравенства треугольника \left|{z}_{1} + {z}_{2} \right| \leq \left|{z}_{1}\right| + \left| {z}_{2}\right|;~ \left| {z}_{1} - {z}_{2}\right| \geq\left| \left|{z}_{1}\right| - \left|{z}_{2}\right|\right|, где \left|{z}_{1} - {z}_{2}\right| - расстояние между точками {z}_{1 } и {z}_{2} на комплексной плоскости.

Пример 2.1

Условие

Изобразить на комплексной плоскости:

а) |z-i| < 2 ; б) |z+1+i| > \sqrt{2} ; в) \frac{\pi}{2} \le \arg (z+i) \le \frac{3\pi}{4} .

Ris_5 Ответ Рис. 3.