Тригонометрическая и показательная форма. Извлечение корня n-ной степени: Часть 1

Видео

Конспект

Тригонометрическая форма комплексного числа

Если ввести полярную систему координат \left(\rho;\varphi\right) , то x = \rho \cos \varphi , y = \rho \sin \varphi . При этом \rho = \left(x^{2} + y^{2} \right)^{1/2} = |z| = \left((\mathrm{Re}\ z)^{2} + (\mathrm{Im}\ z)^{2} \right)^{1/2}, а \varphi = \arg z - аргумент комплексного числа (рис. 1).

Важно помнить: для комплексного числа 0=(0;0) модуль равен 0 , а аргумент не определен.

Представление комплексного числа в виде z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Рассмотрим умножение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме. z_1\cdot z_2=r_1(\cos \varphi_1+i\sin \varphi_1)\cdot r_2(\cos \varphi_2+i\sin \varphi_2)= r_1r_2(\cos \varphi_1\cos \varphi_2+\cos \varphi_1\cdot i\sin \varphi_2+ i\sin \varphi_1\cos \varphi_2+i^2\sin \varphi_1\sin \varphi_2)= r_1r_2(\cos \varphi_1\cos \varphi_2-+i(\cos \varphi_1\sin \varphi_2\sin \varphi_1\sin \varphi_2)= r_1r_2\left(\cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin (\varphi_1+\varphi_2)\right). Если z_1=z_2=z=r z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) , то формула примет вид: z^2 =r^2(\cos2\varphi +i\sin2\varphi). Методом математической индукции можно доказать формулу Муавра: z^n =r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi).

Пример 3.1

Условие

Пусть z=1+i . Найти z^{12} .

Решение

Найдем модуль r и аргумент \varphi комплексного числа z=1+i : r=\sqrt 2;\quad \varphi=\arctg 1=\frac{\pi}{4}. Тогда z^{12}=2^6(\cos\frac{12\pi }{4}+i\sin\frac{12\pi }{4})=64(\cos 3\pi+i\sin 3\pi)=-64.

Ответ -64.

Задача 3.2

Условие

Вычислите (1-i)^{24} .

Решение

(1-i)^{24}=\left(\sqrt 2(\cos\frac{-\pi }{4}+i\sin\frac{-\pi }{4})\right)^{24}=2^{12}(\cos (-6\pi)+i\sin (-6\pi))=2^{12}. Ответ 2^{12}.

Пример 3.3

Условие

Пусть z=\sqrt 3+i . Найти z^{7} .

Решение

Найдем модуль r и аргумент \varphi комплексного числа z=1+i : r= 2;\quad \varphi=\arctg \frac{1}{\sqrt 3}=\frac{\pi}{6}. Тогда z^{7}=2^7(\cos\frac{7\pi }{6}+i\sin\frac{7\pi }{6})=128(\frac{\sqrt 3}{2}-i\frac{1}{2})=-64(\sqrt 3+i).

Ответ -64(\sqrt 3+i).

Задача 3.4

Условие

Пусть z=\sqrt 3+i . Найдите z^8 .

Решение

z^{8}=2^8(\cos\frac{8\pi }{6}+i\sin\frac{8\pi }{6})=2^8(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i). Ответ 2^8(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i).