Тригонометрическая и показательная форма. Извлечение корня n-ной степени: Часть 2

Видео

Конспект

Извлечение корня n-ной степени

Определение 4.1 Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется такое число w , что w^n = z .

При извлечении корня представим число в виде z=r(\cos(\varphi+2\pi k) +i\sin(\varphi+2\pi k)) , k\in {\mathbb{Z}}.

\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos \frac{\arg z+2\pi k}{n}+i \sin \frac{\arg z+2\pi k}{n} \right), где k=0,1,\dots ,n-1 .

Таким образом корень {n} -той степени из комплексного числа имеет n различных значений (легко проверить, что значение корня при k=n совпадет с значением при k=0 , значение корня при k=n+1 совпадет с значением при k=1 и т.д.). Модули этих комплексных чисел одинаковы и равны \sqrt[n]{|z|} , а аргументы различаются на число, кратное \frac{2\pi}{n} . Точки на комплексной плоскости, соответствующие различным значениям корня n -ой степени, расположены в вершинах правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса \sqrt[n]{|z|} с центром в точке z=0 .

Пример 4.1

Условие

Решить уравнение z^3+8=0 .

Решение

z^3+8=0\Longleftrightarrow z^3=-8. Представим число -8 в тригонометрическом виде с учетом периода: -8=8(cos (\pi+2\pi k)+i\sin (\pi+2\pi k). Тогда \sqrt[3]{-8}=2(cos (\frac{\pi+2\pi k}{3})+i\sin (\frac{\pi+2\pi k}{3}),где \quad k=0,1,2. При k=0 z_1=2\left(\cos \frac{\pi+}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)=1+i\sqrt{3}; при k=1 z_2=2\left(\cos \frac{3\pi3}{3}+i\sin \frac{3\pi3}{3}\right)=-2; при k=2 z_3=2\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)=1-i\sqrt{3}.

Ответ z_1=1+i\sqrt{3}; \quad z_2=-2; \quad z_3=1-i\sqrt{3}.

Задача 4.2

Условие

Представьте \sqrt[4]{1} в алгебраической форме.

Решение

\sqrt[4]{1}=\sqrt[4]{1({cos (0+2\pi k )}+i{sin (0+2\pi k) })}= \sqrt[4]{1}\left({cos \frac{0+2\pi k}{4}\ }+i{sin \frac{0+2\pi k}{4}\ }\right),k=\overline{0,3}

Ответ z_1=1 ; z_2=i ; z_3=-1 ; z_4=-i .

Пример 4.3

Условие

Представить комплексное число \sqrt[3]{-27} в алгебраической и тригонометрической формах.

Решение

\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{27e^{i\pi+2\pi k i }} = 3e^{\frac{i\pi+2\pi k i}{3}} = 3\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{3}+i \sin \frac{\pi+2\pi k}{3}\right). При k=0 z_1=3\left(\cos \frac{\pi+2\pi\cdot 0}{3}+i \sin \frac{\pi+2\pi\cdot 0}{3}\right)=3\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right); при k=1 z_2=3\left(\cos \frac{\pi+2\pi \cdot 1}{3}+i\sin \frac{\pi+2\pi\cdot1}{3}\right)=3\left(-1+i\cdot 0\right); при k=2 z_3=3\left(\cos \frac{\pi+2\pi\cdot2}{3}+i\sin \frac{\pi+2\pi\cdot2}{3}\right)=3\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Ответ z_1=3\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right); \quad z_2=3\left(-1+i\cdot 0\right); \quad z_3=3\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Задача 4.4

Условие

Представьте \sqrt[4]{1} в алгебраической форме.

Решение

\sqrt[4]{1}=\sqrt[4]{1({\cos (0+2\pi k) }+i{\sin (0+2\pi k) })}= \sqrt[4]{1}\left({\cos \frac{(0+2\pi k)}{4}\ }+i{\sin \frac{(0+2\pi k)}{4}\ }\right),k=\overline{0,3}.

Ответ z_1=1 ; z_2=i ; z_3=-1 ; z_4=-i .

Пример 4.5

Условие

Решить уравнение z^4+4=0 , представить решение в тригонометрической форме.

Решение

z^4+4=0\quad\Longleftrightarrow \quad z^4=-4\quad\Longleftrightarrow\quad z=\sqrt[4]{-4}; z=\sqrt[4]{4(\cos \pi + i \sin \pi )} = \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right)\right), \quad k=0; \; 1; \; 2; \; 3.

Ответ z= \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right)\right), \quad k=0; \; 1; \; 2; \; 3.