Задачи небесной механики и астрофизики.: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 7

Условие

а рисунке представлена диаграмма Герцшпрунга-Рассела.

2 Выберите из приведенного списка все утверждения о звездах, которые являются верными (соответствуют диаграмме):

1) «Жизненный цикл» звезды спектрального класса B главной последовательности более длительный, чем звезды спектрального класса G главной последовательности.

2) Температура поверхности звёзд спектрального класса F ниже температуры звёзд спектрального класса A .

3) Звезда Арктур имеет температуру поверхности 4100 К, следовательно, она относится к звёздам спектрального класса B .

4) Радиус звезды Бетельгейзе почти в 1000 раз превышает радиус Солнца, следовательно, она относится к сверхгигантам.

5) Средняя плотность сверхгигантов существенно больше средней плотности белых карликов.

В качестве ответа задания напишите номера правильных утверждений, не разделяя знаками препинания, например: 13.

Решение

Обычно в заданиях этого типа нужно начинать с наиболее очевидных утверждений. В заданном пакете это утверждение 4 - простого взгляда на диаграмму достаточно, чтобы удостоверится, что звезда с размером в 1000 с лишним раз больше солнечного обязательно относится к сверхгигантам. Утверждение 4 - верное. Также просто проверяется и утверждения 2 и 3 - на диаграмме задана четкая связь между температурами и спектральными классами. Посмотрев на шкалы «спектральный класс» и «температура», видим что утверждение 2 - верное, а утверждение 3 - нет.

Длительность «жизненного цикла» звезды определяется ее типом (у сверхгигантов и звезд главной последовательности цикл состоит из разных этапов) и скоростью потери энергии, то есть светимостью. У звезд одного типа соотношение светимостей связано с соотношением температур (у более горячих звезд светимость выше), поэтому на главной последовательности более холодные звезды живут дольше. Как видно из диаграммы, спектрального класса B главной последовательности имеют более высокие температуры, чем звезды спектрального класса G главной последовательности. Поэтому их жизненный цикл короче - утверждение 1 неверно.

Белый карлики, как видно из диаграммы имеют радиусы в среднем в 10^{4} степени раз меньше, чем у сверхгигантов, поэтому при равной плотности их массы были бы меньше в 10^{12} раз, но таких различий в массах звезд не бывает, так что плотности белых карликов должны быть заметно выше плотностей сверхгигантов. При наличии достаточной эрудиции можно вспомнить, что белые карлики - одни из самых плотных звезд (более плотными объектами являются только нейтронные звезды и темные массивные «сверхкомпактные» объекты типа гипотетических «черных дыр», но их не видно в оптическом диапазоне). Конечно, утверждение 5 неверно - верным является противоположное утверждение.

Ответ 24.

Задача 8

Условие

С борта космической станции, вращавшейся вокруг Солнца по круговой орбите радиуса 16 R (где R - радиус Солнца), произвели выстрел, с помощью которого снаряд был выведен на эллиптическую орбиту вокруг Солнца. Известно, что начальная скорость снаряда относительно Солнца была направлена под углом \alpha=30^{\circ} к радиусу, проведенному из центра Солнца в точку выстрела, а ее величина была в 4 раза меньше 1 -ой космической скорости для Солнца. Найдите отношение величин большой и малой полуосей эллиптической орбиты, на которой оказался снаряд.

Решение

Для нахождения отношения полуосей орбиты нужно знать ее эксцентриситет, который равен модулю вектора Лапласа - интеграла движения снаряда, который можно вычислить по начальной точке траектории: \quad e \equiv \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} \Rightarrow \frac{b}{a}=\sqrt{1-e^{2}}=\sqrt{1-\vec{\varepsilon}^{2}} . Используем определение вектора Лапласа и для удобства вычисления разобьем его на два векторных слагаемых (ясно, что оба вектора лежат в плоскости движения снаряда, и при этом первый перпендикулярен скорости):

\vec{\varepsilon} \equiv \frac{1}{G M m}[\vec{v} \times \vec{L}]-\frac{\vec{r}}{r}=\vec{C}-\frac{\vec{r}}{r} . 3 Квадрат вектора Лапласа можно вычислить как сумму квадратов его проекций на направление вдоль радиуса (линии, соединяющей центр Солнца с точкой выстрела) и перпендикулярной к радиусу: \vec{\varepsilon}^{2}=[C \cdot \sin (\alpha)-1]^{2}+C^{2} \cos ^{2}(\alpha)=1+C^{2}-2 C \cdot \sin (\alpha) . Отметим, что вектор момента импульса перпендикулярен плоскости движения (и, следовательно, вектору скорости), и поэтому

C \equiv \frac{v L}{G M m}=\frac{v \cdot m v \cdot 16 R \cdot \sin (\alpha)}{G M m}=\frac{R}{G M} v_{I}^{2} \cdot \sin (\alpha) . При этом, конечно же, 1-ая космическая скорость для Солнца v_{I}=\sqrt{\frac{G M}{R}} , и с учетом того, что \cdot \sin (\alpha)=\frac{1}{2} , получаем:

C=\sin (\alpha)=\frac{1}{2} \Rightarrow \vec{\varepsilon}^{2}=1+C^{2}-C=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1}{2} . Ответ \frac{b}{a}=\frac{1}{2} .