Солнечная система

Лекция 1: Солнечная система. Часть I: Строение Солнечной системы. Небесные тела и законы Кеплера. В состав Солнечной системы включают Солнце и все тела, гравитаиионно связанные с ним (то есть те, на движение которых оно оказывает заметное для нас влияние).«Главным» телом Солнечной системы, конечно же, является Солнце - центральная звезда нашей системы. Все тела, которые мы можем любым способом наблюдать из этой системы, носят название небесных тел. Мы можем разделить их на небесные тела Солнечной системы (это тела, которые при всех движениях «сопутствуют» Солнцу и не могут удалиться от него на «очень большое» расстояние) и внесистемные небесные тела, которые могут появиться в Солнечной системе (при этом они будут испытывать заметное влияние гравитационного поля Солнца), но потом покинут ее и удалятся от Солнца «очень далеко». Небесные тела Солнечной системы движутся по разнообразным траекториям - орбитам. На самом деле, естественно, все тела, включая Солнце, вращаются вокруг центра масс всех тел системы. Но при этом масса Солнца настолько больше массы любого из других тел системы, что с высокой точностью можно считать, что центр масс системы совпадает с центром масс Солнца. Поэтому все движения тел Солнечной системы мы рассматривает в системе отсчета, связанной с центром масс Солнца. Кроме того, почти всегда (кроме случаев сближений двух и более небесных тел, когда расстояние между ними становятся намного меньше, чем расстояния от этих тел до Солнца) можно пренебречь действием этих тел друг на друга. Тогда изучение движения любого тела сводится к задаче о его движении под действием одной только силы - силы притяжения к Солнцу, описываемой законом всемирного тяготения. Значит, уравнение движения небесного тела можно записать так: $$ m \vec{a}=-\frac{G m M}{r^{3}} \vec{r} \Rightarrow \vec{a}=-\frac{G M}{r^{3}} \vec{r} . $$ Здесь важно обратить внимание на два обстоятельства. Во-первых, это уравнение записано в векторной форме, что на самом деле очень удобно. Во-вторых, масса самого тела из этого уравнения сокращается, то есть ни орбита небесного тела, ни закон его движения от массы тела не зависят. Но они «чувствуют» величину массы центральной звезды. Проще всего описать движение небесного тела по круговой орбите вокруг Солнца. Ведь в этом случае сила притяжения всегда перпендикулярна скорости тела, и она не совершает работы над телом. Поскольку других сил нет, то это означает, что скорость тела изменяться не будет - движение тела будет равномерным вращением. Центростремительное ускорение тела при таком движении . $$ a_{y c}=\frac{v^{2}}{r}=\frac{G M}{r^{2}} \Rightarrow v=\sqrt{\frac{G M}{r}} . $$ Последнее соотношение дает нам связь величины скорости и радиуса орбиты. Кроме того, из него можно получить ряд других интересных соотношений. Например, можно установить, что полная механическая энергия тела $$ E \equiv \frac{m \vec{v}^{2}}{2}-\frac{G m M}{r}=-\frac{G m M}{2 r}=-\frac{m \vec{v}^{2}}{2}, $$ то есть она равна половине его потенциальной энергии, а также его кинетической энергии со знаком «минус» (в любой точке круговой орбиты). Кроме того, период обращения тела связан с радиусом орбиты соотношением $$ T=\frac{2 \pi r}{v}=\frac{2 \pi}{\sqrt{G M}} r^{3 / 2} \Rightarrow T^{2}=\frac{4 \pi^{2}}{G M} r^{3} . $$ Как видно, квадрат периода пропорционален кубу радиуса орбиты с коэффициентом, зависящим только от масса центрального тела. Законы движения произвольных небесных тел в Солнечной системе еще до возникновения ньютоновской механики были определены Иоганном Кеплером, который вывел их из астрономических наблюдений. I закон Кеплера утверждает, что все небесные тела Солнечной системы движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце. II закон Кеплера является законом сохранения: радиус-вектор небесного тела за равные промежутки времени заметает равные площади. Если «скорость заметания площади» $\sigma \equiv \frac{\Delta S}{\Delta t}$ назвать секторной скоростью, то II закон можно считать утверждением о постоянстве секторной скорости. III закон Кеплера устанавливает связь периода обращения небесного тела с размерами его орбиты: отношение квадратов периодов обращения равно отношению кубов больших полуосей эллиптических орбит: $\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}=\frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}$. Для более простого случая круговых орбит мы фактически доказали последнее утверждение на базе законов Ньютона. Иногда III закон формулируют в более информативной («обобщенной») форме, возникшей уже после появления закона всемирного тяготения. Обобщенный III закон Кеплера практически повторяет полученный нами для круговых орбит результат, но уже для эллиптических орбит: Квадрат периода обращения небесного тела Солнечной системы пропориионален кубу большой полуоси его орбитьи с коэффициентом, зависящим от массы Солнца: $$ T^{2}=\frac{4 \pi^{2}}{G M} a^{3} $$ Таким образом, зная (например, из опытов Кавендиша) величину гравитационной постоянной мы можем «взвесить» Солнце, определив величину большой оси и период обращения хотя...