Задачи небесной механики и астрофизики.

{{ {Задача {4 }} {Условие } }} Космическая станция вращалась вокруг Солнца по круговой орбите, радиус которой был в 49 раз больше радиуса Солнца, и выполнила свои задачи. У нее сохранился запас топлива, достаточный для того, чтобы затормозить ее до перехода на эллиптическую орбиту, по которой она попадет на поверхность Солнца («задев» ее в перигелии). Поэтому ее решили «утилизировать» именно таким способом. Через какое время после торможения станция упадет на Солнце? Известно, что радиус солнца $R \approx 6,96 \cdot 10^{8}$ км, а ускорение свободного падения на его поверхности $g \approx 274 м/с^{2}$. {{ Решение } } Понятно, что начальный радиус должен стать расстоянием до афелия эллиптической орбиты снижения, а радиус Солнца - расстоянием до перигелия этой орбиты. Поэтому длина большой полуоси орбиты снижения $$ a=\frac{r_{A}+r_{P}}{2}=\frac{49 R+R}{2}=25 R . $$ Рассмотрим круговую орбиту с радиусом, равным радиусу Солнца. С помощью уравнения для центростремительной компоненты ускорения на этой орбите найдем период обращения: $$ m \frac{v^{2}}{R}=m g \Rightarrow v=\sqrt{g R} \Rightarrow T^{\prime}=\frac{2 \pi R}{v}=2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}} . $$ Теперь применим у орбите снижения и к этой круговой орбите III закон Кеплера и найдем период для орбиты снижения: $$ \frac{T}{T^{\prime}}=\left(\frac{25 R}{R}\right)^{3 / 2}=125 \Rightarrow T=125 T^{\prime}=250 \pi \sqrt{\frac{R}{g}} $$ Ясно, что падение станции от афелия до перигелия займет ровно половину этого периода, так что $t=\frac{T}{2}=125 \pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 174$ часа. Не так уж и долго для таких огромных расстояний! { Ответ } $t=125 \pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 174$ часа. {{ {Задача {5 }} {Условие } }} Астрономы обнаружили в Галактике невидимый объект (закрытый облаком пыли), который своим полем тяготения заметно влиял на движение других объектов. Например, две «блуждающие звезды», массы которых, как было понятно из наблюдений, были намного меньше массы объекта, прошли мимо него, и оказалось, что направления их скоростей относительно объекта повернулись на один и тот же угол. Известно, что скорости звезд относительно объекта на очень большом расстоянии от него различались в 2,5 раза: $v_{2}=2,5 \cdot v_{1}$, а минимальное расстояние от первой звезды до объекта в процессе движения равнялось $r_{1}=15$ млрд. км. Но момент максимального сближения для второй звезды пронаблюдать не удалось из-за пылевого облака. На каком минимальном расстоянии от объекта прошла вторая звезда? {{ Решение } } Из уравнения движения звезды в поле тяготения объекта $$m \vec{a}=-\frac{G M m}{r^{3}} \vec{r} \quad \Rightarrow \quad \vec{a}=-\frac{G M}{r^{3}} \vec{r}$$ ясно, что траектория ее движения не зависит от массы. С другой стороны, эта траектория определяется скоростью на бесконечности $v_{0}$, расстоянием наибольшего сближения $r_{m}$ и величиной $G M$, характеризующей гравитационное поле. Поэтому угол поворота является однозначной функцией этих величин. Угол - величина безразмерная, а комбинация $G M \cdot\left(v_{0}\right)^{x} \cdot\left(r_{m}\right)^{y}$ имеет размерность $м^{3+x+y} \cdot с^{-2-x}$. Значит, единственная безразмерная комбинация $\left(x=-2, y=-1\right.$ )这些 величин - это $\frac{G M}{r_{m} v_{0}^{2}}$. Значит, угол поворота вектора относительной скорости зависит от $\frac{G M}{r_{m} v_{0}^{2}}$. Таким образом, одинаковый угол поворота для двух звезд возможен, если для их траекторий $r_{m 1} v_{1}^{2}=r_{m 2} v_{2}^{2}$. Следовательно, $r_{m 2}=\left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2} r_{m 1}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2} \cdot r_{m 1}=\frac{4}{25} r_{m 1}=2,4$ млрд.км. { Ответ } $r_{m 2}=\left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2} r_{m 1}=2,4$ млрд.км. {{ {Задача {6 }} {Условие } }} При превращении белого карлика в нейтронную звезду выделяется огромная энергия, большая часть «выбрасывается» в пространство в виде нейтринного излучения. Так как нейтрино и антинейтрино рождаются в процессах, идущих за счет слабого взаимодействия, а это взаимодействие «нарушает» симметрию мира относительно процедуры отражения координатных осей(то есть оно различает направления в пространстве), то нейтринное излучение испускается несимметрично по отношению к направлению магнитной оси образовавшейся нейтронной звезды. Рассмотрим случай, когда в виде нейтринного излучения испускается энергия $E_{v}=0,1 \cdot M c^{2}$, где $M$ - масса образовавшейся нейтронной звезды, а с - скорость света. Пусть при этом проекции импульса, унесенного нейтринным излучением по направлению магнитной оси и против нее, различаются на $1 \ {{\noindent\underline{\textbf{Решение}}}\\ } Ясно, что сумма энергий нейтрино, испущенных по и против магнитной оси, $E_{+}+E_{-}=E_{V}$. Поскольку проекции импульсов по условию пропорциональны энергии, то отношение энергий тоже удовлетворяют соотношению $\frac{E_{+}}{E_{-}}=1,01$. Следовательно: __DISPLAY_MATH_4__ Таким образом, полный импульс отдачи звезды в проекции на магнитную ось (равный по величине и противоположный по направлению импульсу, унесенному нейтринным и...