Задачи небесной механики и астрофизики.: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Геостационарными называют спутники, вращающиеся в плоскости земного экватора таким образом, что они все время находятся «над» одной точкой земной поверхности. Во сколько раз радиус орбиты геостационарного спутника больше радиуса Земли? Радиус Земли примерно равен 6380 км, земные сутки равны 24 часам, ускорение свободного падения на поверхности Земли примерно 9,8 м/с^{2} .

Решение

Пусть радиус Земли R_{E} , а ее масса M_{E} . Используем уравнение для центростремительной компоненты ускорения корабля на ГСО: m \frac{v^{2}}{r}=\frac{G M_{E} m}{r^{2}}=\frac{g R_{E}^{2} m}{r^{2}}, откуда v=R_{E} \sqrt{\frac{g}{r}}. С другой стороны, период обращения корабля должен совпадать с периодом обращения Земли вокруг своей оси T , то есть v=\frac{2 \pi r}{T} , откуда r=\sqrt[3]{\frac{g T^{2} R_{E}^{2}}{4 \pi^{2}}} \quad \Rightarrow \quad \frac{r}{R_{E}}=\sqrt[3]{\frac{g T^{2}}{4 \pi^{2} R_{E}}} \approx 6,6

Ответ \frac{r}{R_{E}}=\sqrt[3]{\frac{g T^{2}}{4 \pi^{2} R_{E}}} \approx 6,6 .

Задача 2

Условие

Длительность года на Нептуне примерно равна 164,7 земным годам. Эксцентриситет его орбиты равен 0,0112. Найдите минимальное расстояние от Солнца до Нептуна при его движении по орбите. Большая полуось орбиты Земли примерно равна 149,6 млн. км.

Решение

Применим 3 закон Кеплера к орбитам Земли и Нептуна: отношение больших полуосей их орбит

\frac{a_{Н}}{a_{З}}=\left(\frac{T_{Н}}{T_{З}}\right)^{2 / 3} \approx(164,7)^{2 / 3} \approx 30,05 \Rightarrow a_{Н} \approx 30,05 \cdot a_{З} \approx 4,495 \text { млрд.км. } Минимальное расстояние от Солнца до Нептуна - это расстояние в перигелии, которое вычисляется по большой полуоси и эксцентриситету орбиты:

r_{РН}=a_{Н} \cdot(1-\varepsilon)=a_{З}(1-\varepsilon)\left(\frac{T_{Н}}{T_{З}}\right)^{2 / 3} \approx 4,44 \text { млрд.км. } Ответ 4,44 млрд.км.

Задача 3

Условие

«Внесистемный» болид влетает в Солнечную Систему. Вдали от Солнца он движется со скоростью v_{0} , и его «прицельный параметр» по отношению к Солнцу (расстояние между прямой, вдоль которой направлена скорость болида, и параллельной ей прямой, проходящей через центр Солнца) равен b . Масса Солнца равна M , его радиус R . При каких значениях b болид врежется в Солнце?

Решение

Будем считать болид материальной точкой, а Солнце - неподвижным. Тогда он пролетит мимо Солнца при соблюдении следующего условия: r_{\min }>R , где r_{\text {min }} - минимальное расстояние от болида до центра Солнца.

1 Запишем закон сохранения механической энергии болида при полете от начальной (очень удаленной от Солнца) точки и точки его наибольшего сближения с Солнцем:

\frac{m v_{0}^{2}}{2}=\frac{m v_{m}^{2}}{2}-\frac{G m M}{r_{\min }} Поскольку линия действия силы тяжести, действующей на болид, проходит через центр масс Солнца, то момент импульса болида относительно оси, проходящей через центр масс Солнца, сохраняется: для тех же положений m v_{o} b=m v_{m} r_{\text {min }} , и мы получаем уравнение v_{\max }=v_{0} \cdot \frac{b}{r_{\min }} . Это же соотношение, как мы знаем, получается и из II закона Кеплера. Подставив его в уравнение ЗСЭ, и положив в нем для определения «максимального» значения b , что r_{\min }=R , получим уравнение:

\frac{v_{0}^{2} b^{2}}{R^{2}}-v_{0}^{2}=\frac{2 G M}{R} \Rightarrow b_{\max }^{2}=R^{2}\left(1+\frac{2 G M}{R v_{0}^{2}}\right) Таким образом, болид врежется в Солнце при b \leq R \cdot \sqrt{1+\frac{2 G M}{R v_{0}^{2}}} .

Ответ при b \leq R \cdot \sqrt{1+\frac{2 G M}{R v_{0}^{2}}} .

Два спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам, радиусы которых различаются в 3,24 раза. Во сколько раз различаются их скорости относительно центра Земли? В ответе укажите отношение большей скорости к меньшей с точностью до десятых.

Рассмотрим астероид, расстояние до которого от центра Солнца меняется от r_a = 392 млн. км (в афелии) до r_p = 242 млн. км (в перигелии). Найдите малую полуось его орбиты. Ответ запишите в млн.км, с точностью до целого значения.

Астероид движется по эллиптической орбите с полуосями a = 246\,R и b = 54\,R (где R \approx 700 тыс. км – радиус Солнца). Во сколько раз максимальное расстояние от центра Солнца до астероида на этой орбите больше минимального? Ответ запишите с точностью до целого значения.