Рациональные системы с параметрами Часть 1

Рациональные системы с параметрами Линейные системы с параметрами Начнем с решения систем линейных уравнений с параметрами. Пример 1.1 При каких $a$ система уравнений имеет решения? Найдите эти решения. $$ \left\{ \begin{array}{l} x + a y = 1, \\ a x + y = a^2. \end{array} \right. $$ Из первого уравнения имеем $x=1-ay$. Подставим это выражение во второе уравнение и проведем исследование в соответствии с разделом <<Рациональные уравнения и неравенства>>. $$ \left\{ \begin{array}{l} x = 1- a y, \\ a -a^2y + y = a^2, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1- a y, \\ y(1-a)(1+a) = a(a-1). \end{array} \right.\ $$ Во втором уравнении при $a=1$ переменная $y$ принимает произвольные значения $y=t,~~ t \in \mathbb{R}$, тогда $x=1-at$. При $a=-1$ левая часть второго уравнения равна нулю, а правая отлична от нуля, поэтому решений не существует. При $a\ne \pm 1$ второе уравнение, а отсюда и вся система, имеет единственное решение. Ответ: если $ a \ne \pm 1$, то $\displaystyle x=\frac{1 + a + a^2}{a + 1};~y=- \frac{a}{a+1} $; если $ a = 1$, то $\displaystyle x=1 - t; ~y=t $, $t \in \mathbb{R}$; если $ a = - 1$, то нет решений. Задача 1.2 При каких $a$ система уравнений имеет решения? Найдите эти решения. $$ \left\{ \begin{array}{l} 2(a - 1)x - 2 y = a - 1, \\ 4 x + (1 - a)y = 2, \end{array} \right. $$ Решение. Для упрощения вида системы обозначим $b=a-1$: $$ \left\{ \begin{array}{l} 2bx - 2 y = b, \\ 4 x + by = 2, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = bx-\frac{b}{2}, \\ 4 x + by = 2. \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = bx-\frac{b}{2}, \\ 4 x + b^2 x-\frac{b^2}{2} - 2=0. \end{array} \right. $$ Уравнение для $x$ преобразуется к виду $\displaystyle (4-b^2)x+\frac{b^2-4}{2}=0.$ Очевидно, что при $b=\pm 2$ переменная $x$ может принимать любые значения. Тогда получаем, что либо $x=t$, то $y=2t-1$ при $b=2$, либо $y=-2t+1$ при $b=2$. Если $b\ne \pm 2$, то $\displaystyle x=\frac{1}{2}$, а $y=0$. Возвращаясь к параметру $a$, получаем ответ. Ответ: если $ a \ne - 1$, $ a \ne 3$, то $\displaystyle x=\frac{1}{2}; ~y=0 $; если $ a = - 1$, то $\displaystyle x= t; ~y=- 2t + 1 $, $t \in \mathbb{R}$; если $ a = 3$, то $\displaystyle x= t;~y= 2t - 1 $, $t \in \mathbb{R}$. Эквивалентный ответ: если $ a \ne - 1$, $ a \ne 3$, то $\displaystyle x=\frac{1}{2};~y= 0 $; если $ a = - 1$, то $\displaystyle x= \frac{1 - w}{2}; ~y= w $, $w \in \mathbb{R}$; если $ a = 3$, то $\displaystyle x= \frac{1 + w}{2}; ~y=w $, $\displaystyle w \in \mathbb{R} \vphantom{\int}$. Системы нелинейных уравнений с параметрами. Использование графиков В этом разделе начнем с использования графиков для решения систем. Этот подход особенно удобен, когда не нужно находить сами решения, а требуется определить их число в зависимости от значений параметра. Пример 1.3 В зависимости от значений параметра $a$ определите количество решений системы $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x^2 + y^2 = a, \\ \displaystyle |x| + |y| = 1. \\ \end{array}} \right. $$ Решение. При $a 1$ окружность целиком лежит либо внутри квадрата, либо вне его и общих точек с ним в любом случае не имеет. Ответ: если $ a \in (-\infty; 0,5) \cup (1;+\infty)$, то нет решений; если $ a = 0,5$ и $a = 1$, то четыре решения; если $ a \in (0,5; 1)$, то восемь решений. Задача 1.4 В зависимости от значений параметра $a$ определите количество решений системы $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x^2 + y^2 = 1, \\ \displaystyle |x| + |y| = a. \\ \end{array}} \right. $$ Решение. Сначала построим окружность радиуса 1. Далее будем строить квадраты, удовлетворяющие уравнению $\displaystyle |x| + |y| = a$ для различных $a$. Eсли $ a=0$, то эта одна точка, и общих точек с окружностью нет. Если $0 \sqrt 2$ решений нет Ответ: если $ \displaystyle a \in \left(-\infty; 1 \right)\cup ( \sqrt 2;+\infty)$, то нет решений; если $a = 1$ или $ a =\sqrt{2}$ , то четыре решения; если $a \in \left(1; \sqrt 2\right)$, то восемь решений. Представляет также интерес эффект оптического обмана, возникающего при взгляде на рис. 2 и рис. 1 Трудно избавиться от ощущения, что квадрат на левом рисунке <<кривой>>, а на правом — <<кривая>> окружность. В том, что это действительно оптический обман, легко убедиться, если приложить к стороне квадрата линейку или просто посмотреть с большого расстояния, чтобы тонкие линии были не видны. В ряде задач требуется найти значения параметра, при которых решение единственно или существует хотя бы одно решение. В этом случае также возможно применить графический метод.