Сложные системы. Различные типы функций

Сложные системы. Различные типы функций В следующем примере при исследовании количества решений существенно используются свойства конкретной задачи. Пример 1 Найдите все значения параметра $a$, при которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a \left( x^4 + 1 \right) =y-|x|+1, \\ \displaystyle x^2+ y^2 = 1 \end{array} \right. $$ имеет единственное решение. Решение. В систему уравнений входят лишь четные функции переменной $x$, поэтому если $(x_0; y_0)$ — решение системы, то и $(- x_0; y_0)$ тоже будет решением системы. Отсюда вытекает, что решение будет единственным только если $x = 0$. При этом значении $x$ система принимает вид: $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a =y+1, \\ \displaystyle y^2 = 1, \end{array} \right. $$ откуда получаем два возможных значения параметра $a=0$ и $a=2$. Другие значения параметра не могут удовлетворить условиям задачи, но необходимо проверить, действительно ли при найденных значениях параметра $a$ система имеет только одно решение. Пусть $a=0$. Тогда система принимает следующий вид: $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 =y-|x|+1, \\ \displaystyle x^2+ y^2 = 1, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle|x|=y-1, \\ \displaystyle 2y^2+2y=0. \end{array} \right. $$ Второму уравнению удовлетворяют два различных значения $y$, причем для каждого можно найти соответствующее значение $x$, поэтому решение системы не является единственным, $a=0$ не удовлетворяет условию задачи. Пусть $a=2$. Тогда $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 2x^4+1=y-|x|, \\ \displaystyle x^2+ y^2 = 1. \end{array} \right. $$ Очевидно, что $\displaystyle 2x^4\geqslant -|x|$, а из второго уравнения получаем, что $1\geqslant y$, следовательно, $\displaystyle 2x^4+1\geqslant y-|x|$. Знак равенства возможен только при $x=0, y=1$. Поэтому это решение системы уравнений единственно. Ответ: $ 2$. Далее рассмотрим системы , содержащие тригонометрические функции. Пример 2 Найдите, при каких значениях параметра $a$ системы уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 0, \\ \displaystyle x^2 + y^2 = a \\ \end{array} \right. \mbox{ и } \left\{ \begin{array}{l} \sin (x + y) = 0, \\ \displaystyle x^2 + y^2 = a \\ \end{array} \right. $$ равносильны? Решение. Отметим, что при $a 0$, и одна точка, если $a=0$. Теперь решим вторую систему. Ее можно записать, как $$ \left\{ \begin{array}{l} x + y = \pi n, ~n \in\mathbb{Z},\\ \displaystyle x^2 + y^2 = a. \\ \end{array} \right. $$ В отличие от первой системы, решениями первого уравнения являются параллельные прямые, среди которых есть и прямая $y=-x$ ($n=0$). Для равносильности систем необходимо выбрать такое значения параметра $a$, чтобы прямые $y=-x+\pi n$, где $ n \in\mathbb{Z}, n\ne 0$ не имели общих точек с окружностью. Из рис. 35 видно, что окружность не должна <<дойти>> до параллельных прямых $y=-x \pm \pi$, то есть ее радиус должен быть меньше, чем расстояние от начала координат до данных прямых, равное $\displaystyle \frac{\pi\sqrt 2}{2}$: $$ \sqrt a Ответ: $ \displaystyle \left( - \infty; \frac{\pi^2}{2} \right)$. Пример 3 Найдите, при каких значениях параметра $a$ система $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle ax^2 + a - 1 = y - |\sin x|, \\ \displaystyle \tg^2 x + y^2 = 1 \\ \end{array} \right. $$ имеет единственное решение. Решение. Поскольку в систему входят только четные функции переменной $x$, то если $(x_0, y_0)$ — решение системы, то и $(- x_0, y_0)$ тоже будет решением системы. Отсюда вытекает, что для единственности решения необходимо, чтобы $x_0 = 0$. При $x = 0$ система принимает вид: $$ \left\{ \begin{array}{l} x=0,\\ \displaystyle a - 1 = y , \\ \displaystyle y^2 = 1. \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0,\\ \displaystyle a - 1 = y , \\ \left[ \begin{array}{l} \displaystyle a = 0, \\ \displaystyle a = 2. \end{array}\right. \end{array} \right. $$ Таким образом, значениями параметра, при которых решение единственно, могут быть только $a = 0$ и $a = 2$. Однако надо проверить, действительно ли решение при этих значениях параметра единственно. При $a = 0$ система принимает следующий вид: $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle y = |\sin x| - 1 , \\ \displaystyle \tg^2 x + y^2 = 1\;\;. \\ \end{array} \right. $$ Нетрудно видеть, что пары $(\pi n;-1)$, $n \in \mathbb{Z}$ являются решениями, значит решение системы не единственно. При $a = 2$ имеем $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle y = 2x^2 + |\sin x| + 1 , \\ \displaystyle \tg^2 x + y^2 = 1\;\;, \\ \end{array} \right. $$ Из первого уравнения системы следует, что при $x=0$ достигается минимальное значение $y = 1$, и пара $x=0;~ y=1$ удовлетворяет и второму уравнению. При других значениях $x$ переменная $y$ принимает значения, большие 1, при этом второе уравнение системы не имеет решений. Отсюда вытекает, что при $a = 2$ система имеет единственное решение. Ответ: $\displaystyle 2$. И, наконец, система с двумя параметрами и показательной функцией. Пример 4 МГУ, механико-математический ф-т, 1966. Найдите все $a$, пр...