Рациональные системы с параметрами Часть 1

Пример 1.5 Олимпиада <<Ломоносов-2008>>, №3. При каких значениях параметра $a$ существует единственное решение системы $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x^2 + y^2 = 4, \\ \displaystyle (x-3)^2 + (y+4)^2 =a? \\ \end{array}} \right. $$ Решение. Сразу отметим, что $a>0$ (при $a=0$ решение второго уравнения единственно, но не удовлетворяет первому уравнению). Уравнения системы задают две окружности (рис. 12): одну с центром в точке $ O(0;0)$ радиуса $2$ (изображена жирной линией) и вторую с центром в точке $Q(3;-4)$ радиуса $\sqrt{a}$. Существование единственного решения означает касание окружностей внешним (точка $A$) или внутренним (точка $B$) образом. В первом случае $\sqrt{a}=QA=QO-AO=5-2=3$, и, следовательно, $a=9$. Во втором случае $\sqrt{a}=QB=QO+AO=5+2=7$, значит, $a=49$. Ответ: 9; 49. Задача 1.6 Олимпиада <<Ломоносов-2008>>, №3. При каких значениях параметра $a$ существует единственное решение системы $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x^2 + y^2 =9, \\ \displaystyle (x-4)^2 + (y-3)^2 =a? \\ \end{array}} \right. $$ Решение. Сразу отметим, что $a=0$ не подходит, так как в этом случае решение второго уравнения единственно, но не удовлетворяет первому уравнению. Уравнения системы задают две окружности: одну с центром в точке $ O(0;0)$ радиуса $3$ и вторую с центром в точке $Q(4;3)$ радиуса $\sqrt{a}$. расстояние между центрами равно 5. Существование единственного решения означает касание окружностей внешним (точка $A$) или внутренним (точка $B$) образом. В первом случае радиус равен $\sqrt{a}=QA=QO-AO=5-3=2$, и, следовательно, $a=4$. Во втором случае $\sqrt{a}=QB=QO+AO=5+3=8$, значит, $a=64$. Ответ: $4$; $64$. Пример 1.7 ЕГЭ-2018, тренировочный вариант, № 18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} 3x^2+3y^2=10xy,\\ (x-a)^2+(y-a)^2=10a^4,\ \end{array} \right. \\ $$ имеет ровно два решения. Решение. Начнем с первого уравнения системы, оно однородное второй степени относительно $x$ и $y$. Рассмотрим сначала $y= 0$, при этом $x=0$. Далее предположим, что $y\ne 0$, и разделим уравнение на $y^2$: $$ \displaystyle 3\left(\frac{x}{y}\right)^2-10\frac{x}{y}+3=0.$$ Решениями уравнения будут $\displaystyle \frac{x}{y}=3$ и $\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{1}{3}$, что в совокупности с решением $x=0$, $y=0$ на графике соответствует двум прямым $y=3x$ и $\displaystyle y=\frac{x}{3}$, пересекающимся в начале координат (см. рис. 30). Перейдем ко второму уравнению системы. Оно описывает семейство окружностей радиусов $\displaystyle\sqrt{10}a^2$ с центрами, лежащими на прямой $x=a,~y=a$, то есть на прямой $y =x$. Прямые, задаваемые первым уравнением системы, расположены симметрично относительно линии центров окружностей, поэтому решений будет ровно два, только если прямые касаются окружностей (исключение составляет точка (0;0) — при $a=0$ решение $x=0; y=0$ единственно). В противном случае решений либо нет, либо их больше двух. При подстановке $y=3x$ во второе уравнение системы получаем $$(x-a)^2+(3x-a)^2=10a^4\Longleftrightarrow 5x^2-4ax+a^2-5a^4=0.$$ Прямая касается окружности, если решение уравнения единственно, то есть дискриминант равен нулю: $$\displaystyle \frac{D}{4}=4 a^2-5a^2+25a^4=0\Longleftrightarrow a^2=25a^4.$$ Тогда либо $a=0$, что не удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае решение единственно, поскольку окружность вырождается в точку, либо $\displaystyle a=\pm \frac{1}{5} \vphantom{\int} $. Вторая прямая расположена симметрично, поэтому значения параметра для случая касания будут те же самые. Ответ: $\displaystyle \pm \frac{1}{5}$.