Рациональные системы с параметрами Часть 1

Задача 1.10 ЕГЭ-2012, основной экзамен, С5. Найдите все положительные значения параметра $a$, при каждом из которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} \left(|x|-4\right)^2+\left(y-3\right)^2=4,\\ (x+1)^2+y^2=a^2 \end{array} \right. $$ имеет единственное решение. Решение. Если $x\ge 0$, то первое уравнение представляет собой окружность радиуса 2 с центром в точке $(4;3)$. Если $x\le 0$, то первое уравнение представляет собой окружность радиуса 2 с центром в точке $(-4;3)$. изобразим эти две окружности на рисунке. Центр окружности,представленной вторым уравнением системы, лежит в точке $(-1;0)$. Поэтому с ростом радиуса этой окружности $a>0$ она первый раз коснется внешним образом левой окружности, центр которой в точке $(-4;3)$. Это интересующий нас случай единственного решения. Второй вариант соответствует внутреннему касанию с правой окружностью (центр в точке $(4;3)$. В остальных случаях либо нет решения, либо оно не является единственным. Внешнее касание будет иметь место, если расстояние $O_1 O$ будет равно сумме радиусов: $$ \sqrt{(-4+1)^2+(3-0)^2}=2+a\Longleftrightarrow a=3\sqrt 2-2.$$ Внутреннее касание будет иметь место, если расстояние $O_2 O$ будет равно разности радиусов: $$ \sqrt{(4+1)^2+(3-0)^2}=a-2\Longleftrightarrow a=3\sqrt{34}+2.$$ Ответ: $\displaystyle 3\sqrt{2}-2$; $\displaystyle 2+\sqrt{34}$.