Преломление: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

На рисунке показан луч, который падает из воздуха на грань стеклянной пластинки, проходит ее и выходит в воздух. Начертите ход луча.

3.1 Решение

3.1 Пусть луч падает из воздуха на плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом \alpha к нормали. Обозначим угол преломления через \beta . Далее луч повторно преломляется и выходит из стеклянной пластинки под углом \gamma . Теперь разберём каждый момент преломления луча подробно:

«воздух — стекло»: у каждой среды есть свой показатель преломления света. У воздуха показатель преломления n_1 \approx 1 , а у стекла n_2 \approx 1,3 . Запишем закон Снеллиуса:

\begin{gathered}

n_1\sin \alpha = n_2\sin \beta \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha \approx 1{,}3\sin \beta \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \sin \alpha > \sin \beta \quad \Rightarrow \quad \alpha > \beta .

\end{gathered} Значит, угол преломления меньше угла падения: при переходе в стекло луч отклоняется к нормали, так как стекло — оптически более плотная среда ( n_2 > n_1 ).

«стекло — воздух»: закон Снеллиуса:

n_2\sin \beta = n_1\sin \gamma \quad \Rightarrow \quad \gamma = \alpha. Получаем, что луч выходит из стеклянной пластинки под таким же углом \alpha .

Если продлить падающий луч, то можно заметить, что луч, прошедший через стеклянную пластинку, сместился от падающего луча на расстояние d .

Задача 2

Условие

На дне прозрачного водоема глубиной H = 2 м находится небольшой камень (геометрическими размерами камня можно пренебречь). Наблюдатель смотрит на него с воздуха вертикально вниз. Определите кажущуюся глубину h , на которой наблюдателю видится камень.

Решение

3.2 Рассмотрим два луча: первый идёт по нормали к поверхности воды, из-за чего не преломляется, второй идёт под углом \beta , а выходит из воды под углом \alpha . Чтобы оба луча попали в глаз, угол \beta должен быть малым. Запишем закон Снеллиуса: n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta \quad \Rightarrow \quad \sin\alpha = \frac{4}{3}\sin\beta . Поскольку угол \beta мал, то: \sin\beta \approx \beta \approx \operatorname{tg}\beta . Тогда: \sin\alpha = \frac{4}{3}\beta , в правой части малое число, следовательно, угол \alpha тоже мал: \sin\alpha \approx \alpha \approx \operatorname{tg}\alpha .

Кажущаяся глубина h определяется из пересечения первого луча и продолжения второго. Для этого продолжим второй луч до пересечения с первым и получим следующие треугольники: \triangle DBC и \triangle ABC . Из геометрии видно, что \angle BDC = \alpha , а \angle BAC = \beta . Тогда: \operatorname{tg}\alpha = \frac{BC}{BD}; \quad \operatorname{tg}\beta = \frac{BC}{BA}. Подставим эти выражения в закон Снеллиуса: \frac{BC}{BD} = \frac{4}{3} \cdot \frac{BC}{BA} \quad \Rightarrow \quad BD = \frac{3}{4}BA \quad \Rightarrow \quad h = \frac{3}{4}H = \frac{3}{4} \cdot 2 м = 1{,}5 м.

Ответ 1{,}5 м.

Задача 3

Условие

Прямой стержень опущен в воду. Наблюдатель смотрит сверху. Каким ему представится конец стержня?

3.2 Решение

3.3 Рассмотрим конец стержня, погружённый в воду. Как мы уже знаем из предыдущей задачи, он будет находиться на кажущейся глубине h ( h<H ), где H — истинная глубина погружения стержня. Кроме того, мы можем рассмотреть все точки его погружённой части. Таким образом, получим изображение стержня, которое увидит наблюдатель.

Задача 4

Условие

Определите скорость света в алмазе, показатель преломления которого 2,4.

Решение

Вспомним из лекций, что показатель преломления света определяется следующим образом: n = \frac{c}{v}, где c — скорость света в вакууме, а v — скорость света в среде. Получаем: v = \frac{c}{n} = \frac{3 \cdot 10^8 м/с}{2,4} \approx 125 \cdot 10^6 м/с.

Ответ v = 125 \cdot 10^6 м/с.

Задача 5

Условие

Найдите предельный угол полного внутреннего отражения для каменной соли ( n = 1{,}54 ).

Решение

Запишем закон Снеллиуса: n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta, \quad (n_1 = 1, \ n_2 = 1{,}54). При увеличении угла \beta синус этого угла будет также увеличиваться, но вскоре мы дойдём до предельного случая: \sin\alpha = \frac{n_2}{n_1}\sin\beta_{кр} = 1 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 90^{\circ}. Угол \beta_{кр} называется предельным углом полного внутреннего отражения (ПВО). Тогда: \sin\beta_{кр} = \frac{n_1}{n_2} \quad \Rightarrow \quad \beta_{кр} = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{1{,}54}\right) \approx 40{,}5^{\circ}.

Как можно заметить из выражения, предельный угол ПВО будет существовать тогда и только тогда, когда свет переходит из более оптически плотной среды в менее оптически плотную ( n_2 > n_1 ).

Ответ \beta_{кр}\approx 40{,}5^{\circ}.

Задача 6

Условие

Определите смещение луча при прохождении через плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной d = 3 см, если луч падает под углом 60^{\circ} . Показатель преломления стекла n = 1{,}51 .

Решение

3.6 Запишем закон Снеллиуса: n\sin\beta = n_{в}\sin\alpha \quad \Rightarrow \quad \sin\beta = \frac{n_{в}}{n}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{1{,}51 \cdot 2} \quad \Rightarrow \quad \beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{1{,}51 \cdot 2}\right). Запишем геометрические соотношения: \begin{gathered}

\operatorname{tg}\beta = \frac{AC}{BC} = \frac{AC}{d} \quad \Rightarrow \quad AC = d\operatorname{tg}\beta; \\

\operatorname{tg}\alpha = \frac{QC}{BC} = \frac{QC}{d} \quad \Rightarrow \quad QC = d\operatorname{tg}\alpha; \\

QA = QC - AC = d(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta).

\end{gathered} Тогда: \cos \angle FQA = \cos \alpha = \frac{QF}{QA} \quad \Rightarrow \quad \Delta x = QF = QA\cos\alpha = d(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta) \cdot \cos \alpha = 1{,}53 см.

Ответ \Delta x = 1{,}53 см.

Задача 7

Условие

Каков угол преломления луча света при переходе из воздуха в воду, если угол его падения равен 50^{\circ} ?

Решение

Запишем закон Снеллиуса: n_{в}\sin\alpha = n\sin\beta \quad \Rightarrow \quad \sin\beta = \frac{n_{в}}{n}\sin\alpha \quad \Rightarrow \quad \beta = \arcsin\left(\frac{1 \cdot \sin 50^{\circ} \cdot 3}{4}\right) \approx 36{,}1^{\circ}.

Ответ \beta \approx 36{,}1^{\circ}.

Задача 8

Условие

На плоскую поверхность кварцевой пластины из воздуха падает луч света под углом \alpha . Известно, что угол между отражённым от поверхности и преломлённым лучами составляет \gamma = 90^{\circ} . Определите угол падения \alpha .

Решение

3.8 Из геометрический соображений: \begin{gathered}

\angle QOC = 180^{\circ} = \angle QOD + \angle DOA + \angle AOC = \beta + 90^{\circ} + \alpha \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad 180^{\circ} = \beta + 90^{\circ} + \alpha \quad \Rightarrow \quad \beta = 90^{\circ} - \alpha.

\end{gathered}\tag{1}

Запишем закон Снеллиуса: n_{в}\sin\alpha = n\sin\beta. \tag{2}

Подставим угол \beta из (1) в (2): n_{в}\sin\alpha = n\cos\alpha \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg}\alpha = n \quad \Rightarrow \quad \alpha = \operatorname{arctg}(n) \approx 57^{\circ}.

Ответ \alpha \approx 57^{\circ}.

Проверка понимания 1

Какое утверждение о преломлении света на границе двух прозрачных сред верно?

A. угол падения всегда больше угла преломления;

B. отношение синуса угла падения к синусу угла преломления постоянно для двух данных сред;

C. угол преломления всегда равен углу падения;

D. луч света не меняет направление при переходе из одной среды в другую.

Проверка понимания 2

Луч света переходит из воздуха в стекло. Угол падения равен 60°, угол преломления равен 30°. Найдите показатель преломления стекла.

В ответе укажите число, округлённое до сотых.

Проверка понимания 3

Показатель преломления стекла равен 1,5. Найдите скорость света в этом стекле.

В ответе укажите число в км/с.

Скорость света в вакууме принять равной 3\cdot10^8 м/с.