Линзы: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Предмет находится на расстоянии 30 см от рассеивающей линзы, его мнимое изображение — на расстоянии 15 см от линзы. Определите фокусное расстояние линзы.

Решение

Формула для тонкой собирающей линзы, где a - расстояние от предмета до линзы, b - расстояние от изображения до линзы, которое является отрицательным, потому что изображение мнимое и F - фокусное расстояние, которое тоже является отрицательным из-за того, что линза рассеивающая: \begin{gathered}

\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = -\frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{a} - \frac{a}{b} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \\ \\

\Rightarrow \quad \frac{b - a}{ab} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad F = \frac{ab}{a-b} = \frac{30 \cdot 15}{30 - 15} = \frac{30 \cdot 15}{15} = 30 см.

\end{gathered}

Ответ F = 30 см .

Задача 2

Условие

Оптическая сила линзы -2,5 дптр. Источник света находится на ее главной оптической оси. Расстояние от линзы до изображения равно 80 см. На каком расстоянии от линзы находится источник света?

Решение

Формула для тонкой собирающей линзы, где a - расстояние от предмета до линзы, b - расстояние от изображения до линзы, которое является отрицательным, потому что изображение мнимое

и F - фокусное расстояние, которое тоже является отрицательным из-за того, что линза рассеивающая: \begin{gathered}

\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = -\frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = D \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = D \quad \Rightarrow \\ \\

\Rightarrow \quad \frac{b-a}{ab} = D \quad \Rightarrow \quad abD = b-a \quad \Rightarrow \quad a \cdot (bD + 1) = b \quad \Rightarrow \\ \\

\Rightarrow \quad a = \frac{b}{bD + 1} = \frac{0{,}3}{1 - 2{,}5 \cdot 0{,}3} = \frac{0{,}3}{1 - 0{,}75} = \frac{0{,}3}{0{,}25} = 1{,}2 м.

\end{gathered}

Ответ a = 1{,}2 м .

Задача 3

Условие

Фокусное расстояние собирающей линзы равно 10 см. Какова её оптическая сила?

Решение

Оптическая сила – это характеристика линзы или зеркала, которая определяет, насколько сильно она преломляет или отражает свет. Она обратно пропорциональна фокусному расстоянию и измеряется в диоптриях.

Так как линза собирающая \Rightarrow оптическая сила будет положительной.

Переведем фокусное расстояние в метры: F = 10 см = 0{,}1 м . D = \frac{1}{F} = \frac{1}{0{,}1} = 10 дптр.

Ответ D = 10 дптр .

Задача 4

Условие

Фокусное расстояние рассеивающей линзы равно 12,5 см. Определите оптическую силу линзы.

Решение

Так как в условии указано, что линза рассеивающая \Rightarrow оптическая сила будет отрицательной.

Переведем фокусное расстояние в метры: F = 12{,}5 см = 0{,}125 м . D = - \frac{1}{0{,}125} = - 8 дптр.

Ответ D = -8 дптр .

Задача 5

Условие

Чему равно фокусное расстояние собирающей линзы, если ее оптическая сила равна 0,4 дптр?

Решение

Фокусное расстояние - это расстояние от оптического центра линзы или зеркала до точки, где сходящиеся лучи света после преломления (или отражения) сходятся в фокусе. Измеряется в метрах и обратно пропорциональна оптической силе.

Так как линза собирающая \Rightarrow фокусное расстояние будет положительным. D = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad F = \frac{1}{D} \quad \Rightarrow \quad F = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5 м.

Ответ F = 2{,}5 м .

Задача 6

Условие

Есть две собирающие линзы: первая — с фокусным расстоянием 5 см, вторая — с фокусным расстоянием 20 см. Какая из линз сильнее преломляет?

Решение

Переведем фокусные расстояния двух линз в метры: F_1 = 5 см = 0{,}05 м; \ F_2 = 20 см = 0{,}2 м .

Так как обе линзы являются собирающими \Rightarrow оптические силы будет положительными. D_1 = \frac{1}{0{,}05} = 20 дптр \quad \Rightarrow \quad D_2 = \frac{1}{0{,}2} = 5 дптр. Так как оптическая сила первой линзы больше, чем второй, то она преломляет сильнее.

Ответ Первая линза сильнее преломляет

Задача 7

Условие

На расстоянии 20 см от собирающей линзы расположен предмет, а его изображение находится на расстоянии f = 10 см от линзы. Чему равно фокусное расстояние?

Решение

Формула для тонкой собирающей линзы, где a - расстояние от предмета до линзы, b - расстояние от изображения до линзы, которое является положительным, потому что изображение действительное и F - фокусное расстояние, которое тоже является положительным из-за того, что линза собирающая: \begin{gathered}

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \\ \\

\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad F = \frac{ab}{a + b} = \frac{20 \cdot 10}{20 + 10} = \frac{200}{30} \approx 6{,}67 см.

\end{gathered}

Ответ F \approx 6{,}67 см .

Задача 8

Условие

На расстоянии 50 см от собирающей линзы стоит карандаш. На каком расстоянии от линзы находится его изображение? Фокусное расстояние линзы 10 см. Охарактеризуйте изображение карандаша.

Решение

Формула для тонкой собирающей линзы, где a - расстояние от предмета до линзы, b - расстояние от изображения до линзы, которое является положительным, потому что изображение действительное и F - фокусное расстояние, которое тоже является положительным из-за того, что линза собирающая: \begin{gathered}

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad

\frac{1}{a} - \frac{1}{F} = \frac{1}{b} \quad \Rightarrow \quad

\frac{F}{aF} - \frac{a}{aF} = \frac{1}{b}\quad \Rightarrow \\ \\

\Rightarrow \quad \frac{F-a}{aF} = \frac{1}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{aF}{F - a} = \frac{50 \cdot 10}{50 - 10} = \frac{500}{40} = 12{,}5 см.

\end{gathered} Так как a>2F , то изображение получится действительным, перевернутым и уменьшеным.

Построим рисунок и отметим на нем все известные величины, где AB - карандаш, A'B' - изображение.

4.1 \Gamma = \frac{b}{a} = \frac{12{,}5}{50} = 0{,}25. Изображение будет в 4 раза меньше, чем источник.

Ответ b = 12{,}5 \text{ см} ; действительное, перевернутое, уменьшенное в 4 раза

Задача 9

Условие

Изображение предмета, сформированное собирающей линзой, получилось на расстоянии 22 см. Фокусное расстояние линзы равно 20 см. На каком расстоянии от линзы находится предмет, если:

а) его изображение — действительное;

б) его изображение — мнимое?

Решение

Рассмотрим пункт (а).Поскольку изображение является действительным, то формула тонкой линзы будет выглядеть следующим образом: \frac{1}{a_1} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}. Тогда: a_1 = \frac{bF}{b - F} = \frac{22 \cdot 20}{2} = 220 см.

Теперь рассмотрим пункт (б). Формула тонкой линзы в случае мнимого изображения: \frac{1}{a_2} - \frac{1}{b} = \frac{1}{F}. Получаем: a_2 = \frac{bF}{b+F} = \frac{22 \cdot 20}{42} \approx 10{,}5 см.

Ответ а) 220 \text{ см} ; б) 10{,}5 \text{ см} .

Задача 10

Условие

Расстояние между лампочкой и экраном равно L = 150 см. Между ними помещается собирающая линза, которая дает на экране резкое изображение нитей лампочки при двух положениях линзы. Каково фокусное расстояние линзы, если расстояние между указанными положениями линзы l = 30 см?

Решение

Чёткое изображение на экране получается тогда и только тогда, когда положение линзы удовлетворяет формуле тонкой линзы. Решим данную задачу при помощи квадратного уравнения, обозначив расстояние от лампочки до линзы за x , тогда расстояние от линзы до экрана будет L-x : \frac{1}{x} + \frac{1}{L-x} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad x^2 - Lx + LF = 0 \quad \Rightarrow \quad \left[ D = L^2 - 4LF \right] \quad \Rightarrow \quad x_{1, 2} = \frac{L \pm \sqrt{D}}{2}. Из условия задачи: |x_1 - x_2| = l. Тогда: \begin{gathered}

\left| \frac{L + \sqrt{D}}{2} - \frac{L - \sqrt{D}}{2} \right| = l \quad \Rightarrow \quad \sqrt{L^2 - 4LF} = l \quad \Rightarrow \\ \\

\Rightarrow \quad F = \frac{L^2 - l^2}{4L} = \frac{(L-l) \cdot (L+l)}{4L} = \frac{120 \cdot 180}{4 \cdot 150} = 36 см.

\end{gathered}

Ответ F = 36 см.

Задача 11

Условие

Объектив имеет фокусное расстояние 15 см. На каком расстоянии от него надо поместить фотографическую бумагу, чтобы с негатива размером 9 см \times 12 см получить на бумаге увеличенный отпечаток 18 см \times 24 см?

Решение

Желаемое линейное увеличение: \Gamma = \frac{18}{9} = \frac{24}{12} = 2 = \frac{b}{a}. \tag{1} Формула тонкой линзы: \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}. \tag{2}

Нам необходимо получить расстояние от объектива до изображения, то есть b . Тогда выразим из (1) a и подставим его в (2): \frac{2}{b} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad b = 3F = 45 см.

Ответ b = 45 см.

Проверка понимания 1

Если предмет находится между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы, то изображение получается:

A. действительным, перевёрнутым, увеличенным;

B. мнимым, прямым, увеличенным;

C. действительным, перевёрнутым, уменьшенным;

D. мнимым, прямым, уменьшенным.

Проверка понимания 2

Оптическая сила собирающей линзы равна 4 дптр. Найдите её фокусное расстояние.

В ответе укажите число в сантиметрах, округлив его до целых.

Проверка понимания 3

Предмет расположен на расстоянии 40 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найдите расстояние от линзы до изображения.

В ответе укажите число в сантиметрах, округлённое до десятых.