Тени: Часть 1

Видео

Конспект

Условие

При солнечном освещении вертикальная палка высотой 1,5 м отбрасывает тень длиной 2 м, а заводская труба отбрасывает тень в 50 м. Определите высоту заводской трубы.

Решение

Для решения этой задачи можно использовать пропорциональность, основанную на том, что при одинаковом солнечном освещении (одинаковом угле падения солнечных лучей) высота предмета и длина его тени находятся в одном и том же отношении.

Построим рисунок для задачи, где h = 1,5 м, l = 2 м и L = 50 м, а H - искомое расстояние.

1.1.PNG Из рисунка видно, что треугольники ABC и A_{1}B_{1}C_{1} подобны из-за пропорциональности катетов AB и A_{1}B_{1} .

Составим пропорцию: \frac{AB}{A_{1}B_{1}} = \frac{BC}{B_{1}C_{1}}

Так как AB = h , BC = l , A_{1}B_{1} = H и B_{1}C_{1} = L , то \frac{h}{H} = \frac{l}{L}

Выразим H из пропорции: H = L\frac{h}{l}

Подставим известные значения и найдем ответ: H = = 37,5 м

Ответ Высота заводской трубы будет равна 37,5 м.

Условие

При солнечном освещении тень от предмета равна высоте предмета. Под каким углом к горизонту находится Солнце?

Решение

Нам известно, что тень предмета равна его высоте при солнечном освещении. Нужно найти угол между Солнцем и горизонтом.

Построим рисунок для задачи, где h - это высота предмета, L - его тень, \alpha - искомый угол.

1.2.PNG Так как h=L \Rightarrow \triangle ABC является равнобедренным треугольником. По свойству прямоугольных равнобедренных треугольников \angle BAC = \angle BCA = \alpha = 45°.

Ответ Под углом 45° к горизонту находится Солнце.

Условие

На рисунке 1.3 показано положение источника света S и четырех вертикально расположенных реек. Перечертив рисунок в тетрадь, покажите, где на стене (АВ) образуются узкие светлые полосы.

Решение

Для решения этой задачи следует провести касательные к окончаниям каждой рейки.

1.3.PNG Условие

В какой точке — 1 или 2 — следует поместить лампу, чтобы получить на экране АВ (рис. 1.5) тень от шара бо́льших размеров?

Решение

Чтобы решить эту задачу надо провести касательные к шару из двух точек.

1.4.PNG Из рисунка можно увидеть, что тень _2 > тень _1 . Из этого можно сделать вывод, что лампу следует поместить в точку 2.

Ответ В точке 2.

Условие

Перечертив рисунок 1.7 в тетрадь, покажите на нем области тени и полутени, образуемые за непрозрачным шаром АВ, который освещается двумя источниками света S_1 , и S_2 .

Решение

Для решения этой задачи необходимо построить касательные к шару, проходящие через две заданные точки.

1.5.PNG Условие

Сделайте чертеж (рис 1.9) и изобразите на нем тени и полутени от мяча, освещенного двумя источниками света S_1 , и S_2 .

Решение

Как и в предыдущих задачах, построим рисунок, где изобразим касательные к шару. Затем, определим, куда падают тени и полутени, создаваемые этими касательными.

1.6.PNG Условие

Лампа S, расположенная у края стола, и шахматная фигура АВ высотой 10 см находятся на прямой, перпендикулярной к плоскости экрана Э (рис. 1.11). На каком расстоянии от лампы отстоит экран, если на нем высота тени от фигуры равна 18 см, а SB = 60 см?

Решение

Для начала изобразим на рисунке условие задачи, где h - это шахматная фигура, H - тень от нее, SD - искомое расстояние.

1.7 Треугольники SAB и SQD имеют общий угол ASB , следовательно эти треугольники подобны.

Составим пропорцию: \frac{SB}{SD} = \frac{AB}{QD}

Так как AB = h и QD = H , то \frac{SB}{SD} = \frac{h}{H}

Выразим SD из пропорции: SD = \frac{H}{h} \cdot SB

Подставим известные значения и найдем ответ:

SD = = 108 см

Ответ Лампа S находится на расстоянии 108 см от экрана Э.

Условие

Расстояние от камеры-обскуры до предмета, на который направлено ее отверстие, составляет 3 м. Расстояние от отверстия камеры до ее задней стенки 15 см. Во сколько раз меньше получается изображение, чем сам предмет?

Решение

Начнем с того, что изобразим условия задачи на рисунке, где S = 3 м, а l = 15 см.

1.8 Переведем расстояние от камеры-обскуры до предмета в см: S = 3 \hspace{3pt} м = 300 \hspace{3pt} см

Так как отрезки AB и DF параллельны, следовательно \angle ABC = \angle CDF и \angle BAC = \angle CFD . Также \angle BCA = \angle DCF из-за того, что они вертикальные.

Исходя из вышеперечисленных условий можно сказать, что \triangle ABC и \triangle CDF подобны по трем равным углам.

Так как S и l являются высотами в \triangle ABC и \triangle CDF можно составить пропорцию: \frac{S}{l} = \frac{AB}{DF}

Обозначим буквой G искомое значение и подставим известные величины и найдем ответ: G = = 20 раз

Ответ Изображение будет в 20 раз меньше предмета.

Проверка понимания 1

При освещении непрозрачного предмета протяжённым источником света на экране образуются:

A. только тень;

B. только полутень;

C. тень и полутень;

D. ни тени, ни полутени.

Проверка понимания 2

Вертикальный шест высотой 1,2 м отбрасывает тень длиной 1,8 м. В это же время дерево отбрасывает тень длиной 9 м. Найдите высоту дерева.

В ответе укажите число в метрах, округлённое до десятых.

Проверка понимания 3

Точечный источник света находится на расстоянии 0,8 м от непрозрачного шара диаметром 0,1 м. Экран расположен на расстоянии 2,4 м от источника. Найдите диаметр тени от шара на экране.

В ответе укажите число в сантиметрах, округлённое до целых.