Волновая оптика

1. Свет - частицы или волны?. Видео

1. Свет - частицы или волны?

Во второй половине 17 -го века датский астроном О. Рёмер, наблюдая затмения одного из спутников Юпитера, обнаружил странную закономерность: затмения всё больше и больше запаздывают, когда расстояние между Землёй и Юпитером увеличивается вследствие движения планет по орбитам вокруг Солнца. Астроном догадался, что наблюдаемое им запаздывание затмений спутника можно объяснить тем, что скорость света конечна и поэтому при увеличении расстояния от Юпитера до Земли свету требуется всё больше и больше времени, чтобы долететь до Земли. Эта догадка позволила учёному впервые оценить скорость света.

Результаты измерений Рёмера впоследствии уточнили во многих других опытах и установили, что скорость света составляет около 300000 км/с. Для изучения природы света важно было не только измерить скорость света, но и установить, что свет движется в пространстве.

Поскольку перемещаться в пространстве могут как частицы, так и волны, возник вопрос: какова природа света - это частицы или волны?

И. Ньютон предположил, что свет - это поток мельчайших частиц. Теорию света Ньютона назвали корпускулярной теорией.

Корпускулярная теория света объясняла прямолинейное распространение света и законы отражения света. Она объясняла также, почему свет может распространяться в вакууме.

Однако корпускулярная теория света не могла объяснить, почему световые лучи свободно проходят друг сквозь друга: ведь если бы свет представлял собой поток частиц, они должны были бы сталкиваться.

Голландский учёный Х. Гюйгенс построил первую волновую теорию света. Она объясняла, почему световые лучи свободно проходят друг сквозь друга: уже было известно, что именно так ведут себя волны.

Гюйгенс показал, что волновая теория света объясняет также законы отражения и преломления света.

Волновая теория света предполагала, что всё пространство заполнено средой, в которой распространяются световые волны, эту среду назвали эфиром.

Однако волновая теория света не объясняла, почему якобы заполняющий всё пространство эфир никак не влияет на движение Земли и других планет вокруг Солнца: их движение очень точно описывали законы Ньютона (включая открытый им же закон всемирного тяготения).

Решающими для выбора в пользу волновой теории света оказались результаты опытов, которые поставил английский физик Т. Юнг в начале 19-го века.

2. Интерференция волн на поверхности воды

Если в волновую ванну налить воду и с помощью колеблющегося стержня, изогнутого в виде буквы П одновременно двумя краями ударять по её поверхности, можно наблюдать интерференционную картину: в результате сложения волн в одних местах они будут усиливать друг друга, а в других - ослаблять.

Некоторые точки поверхности всё время остаются неподвижными (волны гасят друг друга). Напротив, есть точки поверхности, амплитуда колебаний в которых всё время существенно больше амплитуды колебаний от каждого из источников в отдельности (волны усиливают друг друга).

Интерференцией называют такое сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором в разных точках пространства получается усиление или ослабление амплитуды колебаний результирующей волны.

Устойчивую интерференционную картину можно наблюдать только при сложении волн с одинаковой длиной волны u постоянной разностью фаз. Такие волны называют когерентными.

Исследуем механизм образования интерференционной картины в рассмотренном случае. В произвольной точке C на поверхности воды колебания, вызванные волнами от двух источников, складываются. Результат этого сложения зависит от амплитуд x_{m 1} и x_{m 2} , колебаний каждой из волн в этой точке и разности фаз \Delta \varphi между ними (рис. 1).

Пусть в рассматриваемой точке \Delta \varphi=0 (или \Delta \varphi=2 \pi k , где k — целое число). Тогда смещения, создаваемые каждой из волн, в любой момент времени будут направлены одинаково (рис. 2). Поэтому амплитуда x_{m} результирующего колебания будет максимальной

\left(x_{m}=x_{m 1}+x_{m 2}\right) .

Точки интерференционной картины, в которых амплитуда результирующих колебаний максимальна, называют интерференционными максимумами.

Если точечные источники волн колеблются в одной фазе, то максимумы исходящих от них волн накладываются друг на друга в точках, для которых разность хода волн

\Delta d=\left|d_{2}-d_{1}\right| ,

равна целому числу длин волн.

Следовательно, интерференционные максимумы волн от двух точечных источников наблюдаются в точках пространства, для которых разность хода волн от этих источников равна целому числу длин волн: \Delta d=k \lambda , где k - целое число.

Отметим, что число k называют порядком интерференции. Амплитуда результирующих колебаний будет минимальной в тех точках, где смещения, создаваемые каждой из волн, в любой момент времени будут направлены в противоположные стороны (рис. 3). Это означает, что разность фаз суммируемых колебаний равна (2 k+1) \pi . Точки интерференционной картины, в которых амплитуда результирующих колебаний минимальна, называют интерферениионными минимумами. Из рис. 3 видно, что амплитудах результирующего колебания в этих минимумах будет равна:

x_{m}=\left|x_{m 1}-x_{m 2}\right| .

Если источники волн синфазны, а модули скоростей распространения волн во всех направлениях одинаковы, то интерференционные минимумы будут наблюдаться в тех точках, где разность хода равна нечётному числу полуволн.

Поскольку расстояние от максимума волны до её ближайшего минимума равно половине длины волны, получаем, что интерференционные минимумы волн от двух точечных источников наблюдаются в точках пространства, для которых разность хода волн от этих источников равна нечётному числу длин полуволн:

\Delta d=(2 k+1) \frac{\lambda}{2},

где k - целое число.

Рассмотрим произвольную точку C , которая удалена от двух точечных источников волн A и B на расстояние, намного превышающее расстояние d между этими источниками (рис. 1).

Обозначим \varphi угол между отрезком B C и перпендикуляром к отрезку A B (этот угол называют обычно углом наблюдения).

На отрезке B C отметим точку D , находящуюся на таком же расстоянии от точки C , что и точка A , так что D C=A C . Тогда разность хода волн \Delta d , приходящих от точечных источников A и B в точку C , равна длине отрезка B D : \Delta d=B D .

Если расстояние от точки C до каждого из источников A и B намного больше расстояния между источниками A B , то углы C A D и C D A при основании равнобедренного треугольника A C D очень близки к прямым углам, благодаря чему треугольник A D B можно считать прямоугольным с прямым углом, причём угол B A D равен углу \varphi .

Тогда разность хода волн связана с расстоянием между источниками и углом наблюдения соотношением

\Delta d=d \sin \varphi .

Из этого соотношения следует, что интерференционные максимумы будут наблюдаться под углами \varphi_{k} , удовлетворяющими уравнению

d \sin \varphi_{k}=k \lambda,

где k - целое число.

Таким образом, вдали от источников A и B (то есть на расстояниях, намного превышающих расстояние d между источниками) интерференционные максимумы будут расположены вдоль прямых, составляющих углы \varphi_{k} с перпендикуляром к отрезку A B .

Две линии центральных максимумов соответствуют k=0 : все центральные максимумы наблюдаются при \varphi=0 ; они расположены на срединных перпендикулярах к отрезку A B , лежащих по разные стороны от этого отрезка.

Пример 1

Условие

Расстояние между точечными источниками волн, колеблющихся в одной фазе, равно 12 см. Длина волны равна 2 см. Под какими углами наблюдаются линии вторых интерференционных максимумов?

Решение

Воспользуемся условием интерференционного максимума

d \sin \varphi_{k}=k \lambda,

где k=2 , т.к. в условии задачи речь идёт о максимумах второго порядка. Выразим отсюда угол

\varphi_{2}= \arcsin \left(\frac{k \lambda}{d}\right)=\arcsin \left(\frac{2 \cdot 2 \cdot 10^{-2}}{12 \cdot 10^{-2}}\right)=19,5^{\circ}.

Пример 2

Условие

Каков наибольший порядок интерференционных максимумов, который может наблюдаться, когда расстояние между точечными источниками волн, колеблющихся в одной фазе, равно 12 см, а длина волны равна 2 см?

Решение

Воспользуемся условием интерференционного максимума

d \sin \varphi_{k}=k \lambda,

и учтём, что k_{\max } , когда \sin \varphi_{k}=1 , т.е. \varphi_{k}=90^{\circ} . Тогда наибольший порядок интерференционных максимумов

k_{\max }=\frac{d}{\lambda}=\frac{12 \cdot 10^{-2}}{2 \cdot 10^{-2}}=6.

Отметим, что эти шестые максимумы располагаются на прямой, на которой лежат точечные источники.