Влажность

Задачи на влажность воздуха делятся на качественные и расчётные. Среди расчётных есть тренировочные и олимпиадные.

Качественная задача

Условие

Если дома в результате большой стирки очень много влажного белья, а на улице холодный осенний дождь, стоит ли открывать форточку? Будет ли от этого эффект?

Решение

При холодном осеннем дожде температура на улице ниже, чем в помещении. Связь давления с температурой приводит к разности давлений внутри и снаружи. При открывании форточки влажный воздух из комнаты уходит на улицу, влажность в комнате снижается, а бельё высыхает быстрее.

Ответ форточку стоит открыть.

Различают относительную и абсолютную влажность воздуха. Для первых расчётных задач используется относительная влажность.

Относительная влажность

Задача 1

Условие

Давление насыщенных паров при температуре t_{1} = 18{^\circ}C составляет p_{\text{нас}}(18) = 2066\text{ Па.} Этот воздух переходит в состояние насыщения при температуре точки росы t_{2} = 9{^\circ}C\text{.} Нужно определить относительную влажность \varphi воздуха.

Решение

Давление насыщенных паров при любой температуре легко определить по таблице зависимости давления насыщенных паров от температуры.

Точка росы — температура, при которой пар становится насыщенным. Воздух имеет температуру 18{^\circ}C\text{,} а при 9{^\circ}C содержащийся в нём пар достигает насыщения. По таблице давление насыщенного пара при 9{^\circ}C равно 1147\text{ Па.} В расчёте это значение принимается за парциальное давление водяного пара в исходном воздухе.

Относительная влажность воздуха — отношение парциального давления к давлению насыщенного пара при той же температуре, выраженное в процентах:

\varphi = \frac{p}{p_{\text{нас}}} \cdot 100\%

Парциальное давление равно 1147\text{ Па,} а давление насыщенного пара при 18{^\circ}C — 2066\text{ Па.} После деления и умножения на 100\% получается относительная влажность 56\%\text{.} Это близко к комфортному для человека значению около 60\%\text{.}

\varphi = \frac{1147}{2066} \cdot 100\% = 56\%

Для решения первой задачи нужно понимать смысл точки росы и уметь пользоваться таблицей. При 9{^\circ}C пар становится насыщенным. В принятом в задаче подходе соответствующее табличное давление используют как парциальное давление пара в воздухе при 18{^\circ}C\text{.}

Ответ 56\%\text{.}

Задача 2Условие

При температуре t = 20{^\circ}C влажность воздуха составляет \varphi = 55\%\text{.} Табличное давление насыщенного пара при этой температуре равно p_{\text{нас}} = 2,33\text{ кПа.} Определите, какое давление водяного пара поддерживается в воздухе при данной температуре?

Решение

В этих задачах температура нужна для выбора табличного давления насыщенного пара. При 20{^\circ}C оно равно 2330\text{ Па.} Выразим парциальное давление из определения относительной влажности:

\varphi = \frac{p}{p_{\text{нас}}} \cdot 100\%

p = \frac{\varphi}{100\%}p_{\text{нас}}

Подставим данные: 55\% делится на 100\% и умножается на 2,33 \cdot 10^{3}\text{ Па.} Проценты сокращаются; после сокращения 100 и 1000 остаётся 55 \cdot 23,3\text{.}

p = \frac{55\% \cdot 2,33 \cdot {10}^{3}}{100\%} = 1281,5\ Па

Это парциальное давление водяного пара; его следует отличать от общего атмосферного давления, зависящего, в частности, от высоты над уровнем моря.

Ответ 1281,5\text{ Па.}

Абсолютная влажность

Задача 3

Условие

В V = 5\ \text{м}^{3} воздуха содержится m = 86,5\text{ г} водяного пара при температуре t = 25{^\circ}C . Определите абсолютную влажность \rho воздуха.

Решение

Абсолютная влажность равна массе водяного пара в одном кубическом метре воздуха, то есть его плотности. Для этого найдём плотность водяного пара

\rho = \frac{m}{V}

В этой задаче можно выразить плотность как в килограммах на кубический метр, так и в граммах на кубический метр. Важно согласовать единицы массы и объёма.

В системе СИ 86,5\text{ г} переводим в килограммы, умножая на 10^{- 3}\text{,} и делим на 5\text{.} Получаем

\rho = \frac{86,5 \cdot {10}^{- 3}\text{ }}{5} = 17,3 \cdot 10^{- 3}\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^{3}} = 17,3\ \frac{\text{г}}{\text{м}^{3}}

Это означает, что в каждом кубическом метре воздуха содержится 17,3\text{ г} водяного пара. В задачах на влажность обе формы записи допустимы.

Ответ абсолютная влажность воздуха равна 17,3\ \text{г}/\text{м}^{3}\text{,} или 17,3 \cdot 10^{- 3}\ \text{кг}/\text{м}^{3}\text{.}

Задача 4

Условие

В пространстве объёмом V = 10\ \text{м}^{3} при температуре t = 19{^\circ}C содержится m = 71,3\text{ г} водяных паров. Определите относительную влажность \varphi воздуха в этом пространстве.

Решение

Кроме расчёта через давления, относительную влажность можно найти как отношение плотности водяного пара к плотности насыщенного пара при той же температуре, выраженное в процентах

\varphi = \frac{\rho}{\rho_{\text{нас}}} \cdot 100\%

При температуре 19{^\circ}C плотность насыщенного пара определяется по таблице. Плотность имеющегося пара выражается через отношение массы к объёму

\rho = \frac{m}{V}

После подстановки получается формула

\varphi = \frac{m}{V\rho_{\text{нас}}} \cdot 100\%

Перед подстановкой проверим единицы: масса дана в граммах, объём — в кубических метрах, плотность — в граммах на кубический метр. Покажем подстановку с единицами:

\varphi = \frac{71,3\ \text{г}}{10\ \text{м}^{3} \cdot 16,3\ \text{г}/\text{м}^{3}} \cdot 100\%

Табличная плотность насыщенного пара равна 16,3\ \text{г}/\text{м}^{3}\text{.} Единицы согласованы, поэтому граммы и кубические метры сокращаются. Относительная влажность равна 43,7\%\text{,} или примерно 44\%\text{.}

Относительную влажность можно рассчитывать через отношение парциального давления к давлению насыщенного пара или через отношение соответствующих плотностей при одной и той же температуре.

Ответ 43,7\% .

Задача 5

Условие

В комнате объёмом V = 120\ \text{м}^{3} при температуре t = 15{^\circ}C и относительной влажности \varphi = 60\% находятся водяные пары. Давление насыщенного пара при данной температуре составляет h_{нас} = 12,79\text{ мм рт. ст.} Определите массу m водяного пара в комнате.

Решение

В замкнутом объёме масса водяного пара сохраняется постоянной m = const . Для связи давления, объёма, температуры и массы используется уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV = \frac{m}{M}RT

Подготовим величины для уравнения Менделеева — Клапейрона.

Переведем температуру из градусов Цельсия в Кельвины. При обозначении кельвина знак градуса не ставится.

T = 15{^\circ}C = 15 + 273 = 288\ К

Универсальная газовая постоянная равна R = 8,31\ \text{Дж}/(\text{моль} \cdot \text{К})\text{.}

Молярная масса воды определяется её составом: два атома водорода и один атом кислорода дают 18\text{.} Молярная масса — масса одного моля вещества.

M_{H_{2}O} = {10}^{- 3}(1 \cdot 2 + 16) = 18 \cdot 10^{- 3}\ \text{кг}/\text{моль}

Объём комнаты задан. Парциальное давление выразим через относительную влажность и давление насыщенного пара, как в предыдущих задачах:

\varphi = \frac{p}{p_{\text{нас}}} \cdot 100\%

p = \frac{\varphi}{100\%}p_{\text{нас}}

Давление насыщенного пара дано в миллиметрах ртутного столба. Можно воспользоваться соотношением: 1\text{ мм рт. ст.} соответствует 133,3\text{ Па.} Другой способ — рассчитать давление столба ртути по известной формуле:

p_{\text{в}} = p_{рт}

p_{\text{рт}} = \rho_{\text{рт}}gh

Выразим массу из уравнения Менделеева — Клапейрона и затем подставим давление через относительную влажность и \rho_{\text{рт}}gh

m = \frac{pVM}{RT}

m = \frac{\varphi \cdot \rho_{\text{рт}}gh \cdot VM}{100\%\, \cdot RT}

Проверим размерность итоговой формулы. В числителе: относительная влажность в процентах, плотность в килограммах на кубический метр, ускорение в метрах на секунду в квадрате, высота в метрах, объём в кубических метрах и молярная масса в килограммах на моль. В знаменателе: проценты, газовая постоянная в джоулях на моль и кельвин и температура в кельвинах.

\lbrack m\rbrack = \left\lbrack \frac{\% \cdot кг \cdot м \cdot м \cdot м^{3} \cdot кг \cdot моль \cdot К\ }{\% \cdot м^{3} \cdot с^{2} \cdot моль \cdot Дж \cdot К} \right\rbrack

Моли, кельвины, проценты и кубические метры сокращаются. Остаются килограмм в квадрате и метр в квадрате в числителе, секунда в квадрате и джоуль — в знаменателе.

Джоуль равен ньютону, умноженному на метр. После подстановки сокращаем один метр. Ньютон равен килограмму, умноженному на метр и делённому на секунду в квадрате. Подставив это выражение, получаем килограмм — нужную единицу массы.

\lbrack m\rbrack = \left\lbrack \frac{кг^{2} \cdot м^{2}}{с^{2} \cdot Н \cdot м} = \frac{кг \cdot м}{с^{2}} \cdot кг \cdot \frac{с^{2}}{кг \cdot м} = кг \right\rbrack

Для подстановки используются влажность 60\% и давление \rho gh\text{.} Плотность ртути равна 13600\ \text{кг}/\text{м}^{3}\text{;} ускорение свободного падения — 10\ \text{м}/\text{с}^{2}\text{;} высота столба ртути — 12,79\text{ мм,} или 12,79 \cdot 10^{- 3}\text{ м;} объём комнаты — 120\ \text{м}^{3}\text{;} молярная масса водяного пара — 18 \cdot 10^{- 3}\ \text{кг}/\text{моль.} В знаменатель подставляются 100\%\text{,} универсальная газовая постоянная 8,31 и температура 288\ \text{К.}

m = \frac{60 \cdot 13600 \cdot 10 \cdot 12,79 \cdot 10^{- 3} \cdot 120 \cdot 18 \cdot {10}^{- 3}}{100 \cdot 8,31 \cdot 288}

После вычислений получается 0,942\text{ кг,} или примерно 942\text{ г.} То есть, в комнате объёмом 120\ \text{м}^{3} содержится около килограмма водяного пара. При высоте этажа 3\text{ м} площадь комнаты равна 40\ \text{м}^{2}\text{.} Такое содержание пара соответствует комфортной влажности 60\%\text{.}

В этой комбинированной задаче использованы молярная масса, перевод температуры в кельвины и расчёт давления по высоте столба ртути. Давление насыщенного пара здесь равно \rho_{\text{рт}}gh\text{:} формула из седьмого класса помогает решить более сложную задачу.

Ответ 0,942\text{ кг} или 942\text{ г.}