Строение атома

Корпускулярно-волновой дуализм

Французский физик Луи де Бройль предположил, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами. Согласно де Бройлю, с каждым

микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики - энергия E и импульс p , а с другой - волновые характеристики - частота v и длина волны \lambda .

Любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс, длина волны которого определяется по формуле де Бройля: \lambda=\frac{h}{p} , где h - постоянная Планка.

Волновую природу электронов подтвердили на опыте американские физики К. Дэвиссон и Л. Джермер, которые обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки кристалла никеля, - дает отчетливую дифракционную картину.

Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля.

Сочетание в одном объекте волновых и корпускулярных свойств называют корпускулярно-волновым дуализмом.

В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц.

Волновая природа частиц проявляет себя в том, что значения импульса частицы и её координаты можно измерить только с некоторой точностью (которую назвали неопределённостью). Немецкий физик Вернер Гейзенберг доказал, что произведение неопределённостей импульса частицы и её координаты не меньше постоянной Планка: \Delta x \cdot \Delta p_{x} \geq h . Для двух других пар координат и проекций импульсов справедливы аналогичные неравенства. Эти неравенства называют соотношениями неопределённостей Гейзенберга.

Из соотношения неопределенностей следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то в этом состоянии соответствующая проекция её импульса оказывается совершенно неопределенной ( p_{x} \rightarrow \infty ), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых её координаты и импульс имели бы одновременно точные значения.

Соотношение неопределённостей Гейзенберга может быть представлено и в виде неравенства, связывающего неопределённости \Delta E энергии частицы и неопределённости \Delta t времени пребывания частицы в состоянии с данной энергией: \Delta E \cdot \Delta t \geq h .

Пример 1

Условие

В результате поглощения фотона атом перешёл из состояния с энергией -8,2 эВ в состояние с энергией -4,7 эВ. Найдите длину волны поглощённого фотона.

Решение

Воспользуемся вторым постулатом Бора: h v=E_{2}-E_{1} , а также связью длины волны с частотой излучения: v=\frac{c}{\lambda} . Отсюда находим длину волны поглощённого фотона, выполнив перевод электрон-вольта в джоули: \lambda= \frac{h c}{E_{2}-E_{1}}=\frac{6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{(8,2-4,7) \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}}=3,55 \cdot 10^{-7} м =3,55 нм.

Ответ 3,55 нм.

Пример 2

Условие

Чему равна длина волны фотона, излучаемого атомом при переходе с четвёртого уровня на первый (рис. 4), если при указанных стрелками переходах длины волн излучаемых или поглощённых фотонов равны соответственно \lambda_{13}=400 нм, \lambda_{24}=500 нм, \lambda_{32}=600 нм?

image.png Решение

Атом поглощает фотон при переходах с первого уровня на третий и со второго на четвёртый. Энергии поглощённых фотонов при этом равны соответственно: \frac{h c}{\lambda_{13}}=E_{3}-E_{1} и \frac{h c}{\lambda_{24}}=E_{4}-E_{2} .

При переходе с третьего уровня на второй атом излучает фотон с энергией \frac{h c}{\lambda_{32}}=E_{2}-E_{3} , а при переходе с четвёртого уровня на первый — атом излучает фотон с энергией \frac{h c}{\lambda_{41}}=E_{1}-E_{4} .

В последовательности переходов между уровнями энергий, при которых атом из состояния с энергией E_{1} возвращается в это же состояние, суммарная энергия поглощенных фотонов равна суммарной энергии излученных фотонов. Поэтому можно записать: \frac{h c}{\lambda_{13}}+\frac{h c}{\lambda_{24}}=\frac{h c}{\lambda_{32}}+\frac{h c}{\lambda_{41}} .

После деления обеих частей уравнения на hc, выразим

\lambda_{41}= \frac{\lambda_{13} \lambda_{24} \lambda_{32}}{\lambda_{24} \lambda_{32}+\lambda_{13} \lambda_{32}-\lambda_{13} \lambda_{24}}=\frac{400 \cdot 500 \cdot 600}{500 \cdot 600+400 \cdot 600-400 \cdot 500} \approx 350 \text{ нм}.

Ответ 350 нм

Пример 3

Условие

Значения энергии электрона в атоме водорода задаются формулой E_{n}=-\frac{13,6 \text { эВ }}{n^{2}}, n=1,2,3, \ldots . При переходе с верхнего уровня энергии на нижний атом излучает фотон. Переходы с верхних уровней на уровень с n=1 образуют серию Лаймана; на уровень с n=2 - серию Бальмера; на уровень с n=3 - серию Пашена и т.д. Найдите отношение минимальной частоты фотона в серии Бальмера к максимальной частоте фотона в серии Пашена.

Решение

В серии Бальмера энергия фотона равна E_{n}-E_{2} , где n=3,4, \ldots . Аналогично в серии Пашена энергия фотона равна E_{n}-E_{3} , где n=4,5, \ldots .

Частота фотона связана с его энергией равенством h v=E , где h постоянная Планка. Минимальная частота фотона в серии Бальмера соответствует переходу атома с 3 уровня на второй, а максимальная частота фотона в серии Пашена соответствует переходу атома с максимально удалённого уровня на третий. Поэтому

\beta=\frac{E_{3}-E_{2}}{E_{\infty}-E_{3}}=\frac{-\frac{1}{3^{2}}-\left(-\frac{1}{2^{2}}\right)}{0-\left(-\frac{1}{3^{2}}\right)}=\frac{5 \cdot 3^{2}}{3^{2} \cdot 2^{2}}=1,25. Ответ 1,25

Пример 4

Условие

Электрон, имеющий импульс p=2 \cdot 10^{-24} кг \cdot м/с, сталкивается с покоящимся протоном, образуя атом водорода в состоянии с энергией E_{n}(n=2 ). В процессе образования атома излучается фотон. Найдите частоту этого фотона. Уровни энергии атома водорода задаются формулой E_{n}=-\frac{13,6 \text { эВ }}{n^{2}}, n= 1,2,3, \ldots . Кинетической энергией атома пренебречь.

Решение

Поскольку кинетической энергией атома пренебрегаем, то вся кинетическая энергия электрона E_{e}=\frac{p^{2}}{2 m_{e}} перейдет в энергию атома E_{2}= -\frac{13,6 \text { эВ }}{2^{2}} эВ и энергию фотона. Таким образом, по закону сохранения энергии энергия фотона равна E_{\phi}=E_{e}-E_{2}=\frac{p^{2}}{2 m_{e}}-E_{2} .

Энергия фотона E_{\phi}=h v . Тогда частота равна

v=\frac{\frac{p^{2}}{2 m_{e}}-E_{2}}{h}=\frac{\frac{p^{2}}{2 m_{e}}-\left(-\frac{13,6 \text { эВ }}{2^{2}}\right)}{h}=\frac{\frac{p^{2}}{2 m_{e}}+\frac{13,6 \text { эВ }}{2^{2}}}{h}.

После подстановки численных значений получим:

v=\frac{\frac{\left(2 \cdot 10^{-24}\right)^{2}}{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31}+\frac{13,6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}}{2^{2}}}}{6,63 \cdot 10^{-34}}=4,1 \cdot 10^{15} \text{ Гц}.

Ответ 4,1 \cdot 10^{15} \text{ Гц}.