Исключение переменных
Интеграции
Полный курс Вы можете посмотреть в разделе Учеба->Математика->9 класс->Системы Задача 1.5 Решите систему уравнений \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle 2x^2 + y^2 + 7x - 4y = - 1, \\ \displaystyle...
Полный курс Вы можете посмотреть в разделе Учеба->Математика->9 класс->Системы
Задача 1.5
Решите систему уравнений \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle 2x^2 + y^2 + 7x - 4y = - 1, \\
\displaystyle 3x^2 + 1,5 y^2 + 5x - 0,5y = 4. \\
\end{array}} \right. Решение. {Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2 и вычитаем второе из первого: \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle 2x^2 + y^2 + 7x - 4y = - 1, \\
\displaystyle 3x^2 + 1,5 y^2 + 5x - 0,5y = 4. \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle 11x-11y =-11, \\
\displaystyle 6x^2+3y^2+10x-y=8.
\end{array}} \right. \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle x=y -1, \\
\displaystyle 6(y-1)^2+3y^2+10(y-1)-y=8.
\end{array}} \right. \Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle x=y -1, \\
\displaystyle 3y^2-y-4=0.
\end{array}} \right. Решаем квадратное уравнение относительно y , затем находим из второго уравнения x .
Ответ: \displaystyle x=\frac{1}{3}, y=\frac{4}{3} или x=-2, y=-1 .
Системы уравнений с модулями вносят в задачи дополнительные технические сложности, потренируемся в их решении.
Пример 1.6
\cite{29} МГУ, физический ф-т, 1997 (июль), № 5(8).
Решите систему уравнений \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle y-|x-3|=1 , \\
\displaystyle |x-y|=3.
\end{array}} \right. Решение. { Сложной эту систему не назовешь, но что такое модуль, она помогает вспомнить. По определению модуля |x-y|=3 \Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
\displaystyle x-y=3 , \\
\displaystyle x-y=-3.
\end{array}} \right. Отсюда либо \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle y-|y|=1, \\
\displaystyle x=y+3,
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\mbox{нет решений}, либо \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle y-|y-6|=1, \\
\displaystyle x=y-3.
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle y+y-6=1, \\
y\leqslant 6\\
\displaystyle x=y-3.
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle y-y+6=1, \\
y\geqslant 6 \\
\displaystyle x=y-3.
\end{array}} \right.
\end{array}}\right.
\Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
x=0,5,\\
y=3,5
\end{array}}\right. Ответ: x=0,5;~y=3,5 . }
Задача 1.7
Решите систему уравнений \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle y-|x-2|=2 , \\
\displaystyle |x+y|=5.
\end{array}} \right. Решение. { |x+y|=53 \Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
\displaystyle x+y=5 , \\
\displaystyle x+y=-5.
\end{array}} \right. Отсюда либо \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle y=-5-x, \\
\displaystyle -5-x=|x-2|+2,
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\mbox{нет решений}, либо \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle y=5-x, \\
\displaystyle 5-x=|x-2|+2.
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle y=5-x, \\
x\geqslant 2\\
\displaystyle5- x=x-2+2.
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle y=5-x, \\
y\leqslant 2 \\
\displaystyle 5-x=2-x+2.
\end{array}} \right.
\end{array}}\right.
\Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
x=0,5,\\
y=3,5
\end{array}}\right. Ответ: x=2,5;~y=2,5.
Задача 1.8
Решите систему уравнений \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle |x+2|+|y-3|=1 , \\
\displaystyle y=3-|x+2|.
\end{array}} \right. Решение. {Пусть x_1=|x+2|, ~x_1\ge 0 , y_1=y-3 . Тогда система будет иметь следующий вид: \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle x_1+|y_1|=1 , \\
x_1\ge 0,\\
\displaystyle y_1=-x_1.
\end{array}} \right. Так как x_1\ge 0 , y_1\le 0 . Тогда \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle x_1-y_1=1 , \\
x_1\ge 0,\\
\displaystyle y_1=-x_1,
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle x_1=\frac{1}{2} , \\
\displaystyle y_1=-\frac{1}{2}.
\end{array}} \right. Возвращаясь к исходным переменным системы и учитывая, что x_1=|x+2| , получаем два решения системы: x=-1,5 ; y=2,5 и x=-2,5 ; y=2,5 .
} Ответ: x=-1,5 ; y=2,5 и x=-2,5 ; y=2,5 .