Исключение переменных
Интеграции
Полный курс Вы можете посмотреть в разделе Учеба->Математика->9 класс->Системы Системы рациональных алгебраических уравнений и неравенств По определению, решить систему уравнений или неравенств — знач...
Полный курс Вы можете посмотреть в разделе Учеба->Математика->9 класс->Системы
Системы рациональных алгебраических уравнений и неравенств
По определению, решить систему уравнений или неравенств — значит найти те значения неизвестных, которые превращают уравнения или неравенства системы в верные числовые соотношения на области определения функций, входящих в систему.
Начнем с систем рациональных алгебраических уравнений и рассмотрим на их примере основные методы решения систем.
Аналитические методы решения систем уравнений: исключения переменных, замены переменных и перехода к однородному уравнению
Один из наиболее часто используемых способов решения систем уравнений — исключение переменных.
Исключение переменных
Пример 1.1
Решите систему уравнений \left\{ {\begin{array}{l}
2 x + y = 1, \\
x -y = 0. \\
\end{array}} \right. Решение. Из второго уравнения следует, что y=x . Подставим полученное выражение для y в первое уравнение и получим \left\{ {\begin{array}{l}
2 x + x = 1, \\
x -y = 0. \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
x = \frac{1}{3}, \\
y = \frac{1}{3}. \\
\end{array}} \right. ответ: x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3} .
Теперь перейдем к чуть более сложной системе уравнений, где одно из уравнений квадратное.
Пример 1.2
Решите систему уравнений \left\{ {\begin{array}{l}
x + 2y = 6, \\
3x^2 - xy + 4y^2 = 48. \\
\end{array}} \right. Решение. Из первого уравнения следует, что x = 6 - 2y . Подставляя это значение переменной x во второе уравнение, после преобразований получаем квадратное уравнение относительно y : 9y^2 - 39y + 30 = 0. Решениями этого уравнения являются \displaystyle y = \frac{10}{ 3}\vphantom{\int} и y = 1 , для которых находим значения переменной \displaystyle x=- \frac{2}{3} и \displaystyle x=4 соответственно.
Ответ: \displaystyle x= - \frac{2}{ 3}; y=\frac{10}{ 3} и \displaystyle x=4;y=1 .
Задача 1.3
Решите систему уравнений
\left\{ {\begin{array}{l}
x + y = 5, \\
x^2 - xy - y^2 = 7. \\
\end{array}} \right. Решение. \left\{ {\begin{array}{l}
y+y =5, \\
x^2 - xy - y^2 = 7 \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
y = 5-x, \\
x^2 -5x+x^2+25-10x+x^2 = 7 \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}
y = 5-x, \\
x^2-5x+6 = 0. \\
\end{array}} \right. Решая систему, получаем ответ.
Ответ: x=2; y=3 и x=3; y=2 .
В следующей системе оба уравнения квадратные.
Пример 1.4
МГУ, экономический ф-т (отделение политэкономии), 1979 (июль), № 4(5).
Решите систему уравнений \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle 2x^2+y^2+x-2y = 1, \\
\displaystyle 5x^2+2,5 y^2+3x-4y=4. \\
\end{array}} \right. Решение. Для того, чтобы исключить одну из переменных, найдем несложное соотношение, связывающее две переменные. Для этого умножаем первое уравнение на 5, а второе на 2 и вычитаем первое из второго: \left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle 2x^2+y^2+x-2y = 1, \\
\displaystyle x+2y=3.
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle 9y^2-28y +20=0, \\
\displaystyle x=3 -2y.
\end{array}} \right. Решаем квадратное уравнение относительно y , затем находим из второго уравнения x .
Ответ: x=-1,y=2 и \displaystyle x=\frac{7}{9}, y=\frac{10}{9} .