Конденсаторы: Часть 2

Видео

Конспект

Условие

Сложный конденсатор состоит из четырех одинаковых пластин площадью S=1 м ^{2} каждая, расположенных параллельно друг другу. Расстояние между средними пластинами b и c равно l=2 см. Расстояние между пластинами a и b , c и d равно l_{1}=l / 2 . Пластины бис подключены к идеальному источнику напряжения с \mathscr{E}=120 В через резистор R_{1} . В начальном состоянии ключ K разомкнут.

1. Нарисуйте эквивалентную схему сложного конденсатора после замыкания ключа K и найдите его емкость C .

2. Какое количество теплоты Q выделится на резисторах R_{1} и R_{2} (в сумме) при замыкании ключа K ?

Электрическая постоянная \varepsilon_{0}=8,85 \cdot 10^{-12} Ф/м.

Решение

Первоначальная ёмкость конденсатора (то есть ёмкость между пластинами b и c ) равна C_{0}=\frac{\varepsilon_{0} S}{l}=0,44 нФ.

После замыкания ключа K и установления нового равновесного состояния все токи обращаются в ноль и, следовательно, разность потенциалов между крайними пластинами также обращается в ноль. Эквивалентная схема сложного конденсатора имеет вид, показанный на рисунке 26. Ёмкость сложного конденсатора равна C=2 C_{0}=0,89 нФ. Следовательно, при замыкании ключа ёмкость изменилась на \Delta C=2 C_{0}-C_{0}=C_{0} .

Применим закон сохранения энергии: A_{бат}=\Delta W_{э}+\Delta Q, где A_{бат} - работа батареи. A_{бат}=\mathscr{E} \Delta q=\mathscr{E}^{2} \Delta C=\mathscr{E}^{2} C_{0} где \Delta q - заряд, протёкший через батарею после замыкания ключа K .

Изменение \Delta W электрической энергии сложного конденсатора равно: \Delta W_{э}=W_{2}-W_{1}=\frac{\mathscr{E}^{2} \cdot 2 C_{0}}{2}-\frac{\mathscr{E}^{2} C_{0}}{2}=\frac{\mathscr{E}^{2} C_{0}}{2} . Таким образом, количество теплоты, выделившейся в схеме на обоих резисторах, равно: \Delta Q=A_{бат}-\Delta W_{э}=\frac{\mathscr{E}^{2} C_{0}}{2}=\frac{\mathscr{E}^{2} \varepsilon_{0} S}{2 l} \approx 3,2 \text { мкДж}.

Ответ 1. 0,89 нФ; 2. 3,2 мкДж.

Условие

1. В электрической цепи, состоящей из идеального источника с ЭДС \mathscr{E} , двух конденсаторов с емкостями 2 C и C и резистора с некоторым сопротивлением, замыкают ключ K_{1} . До какого напряжения зарядятся конденсаторы?

2. После того, как конденсаторы полностью зарядились, замыкают ключ K_{2} , и размыкают его тогда, когда сила тока через источник уменьшается в 2 раза по сравнению с силой тока через него сразу после замыкания ключа K_{2} . Найдите количество теплоты Q , выделившееся в цепи за время, прошедшее с момента замыкания ключа K_{2} до момента его размыкания.

Решение

1. Найдем заряд на конденсаторах: E=\frac{q}{2 C}+\frac{q}{C}, откуда q=2 C E / 3 . Тогда напряжения на конденсаторах: U_{C}=\frac{2 E}{3}, \quad U_{2 C}=\frac{E}{3} .

2. Пусть сразу после замыкания ключа K_{2} сила тока через аккумулятор равна I , через конденсатор C-I_{C} , а через резистор - I_{R} (рис. 17).

В процессе перезарядки сумма напряжений на конденсаторах в любой момент времени равна E , следовательно: \frac{I_{C} d t}{C}=\frac{I d t}{2 C} . Получаем I=2 I_{C} , откуда: I_{R}=I+I_{C}=\frac{3}{2} I=\frac{U_{C}}{R} Следовательно, когда сила тока через батарею уменьшится в два раза, новый заряд на C также уменьшится в два раза, то есть: q_{C}=\frac{q}{2}=\frac{C E}{3} . Найдём заряд на 2 C : q_{2 C}=2 C\left(E-\frac{q_{C}}{C}\right)=\frac{4 C E}{3} .

Запишем закон сохранения энергии: A=Q+\left(W_{C}-W_{C}\right)+\left(W_{2 C}-W_{2 C}\right), где W - энергия конденсатора, A=E \Delta q - работа аккумулятора. Получаем: Q=E\left(q_{2 C}-q\right)-\left(\frac{q_{C}{ }^{2}}{2 C}-\frac{q^{2}}{2 C}\right)-\left(\frac{q_{2 C}{ }^{2}}{4 C}-\frac{q^{2}}{4 C}\right) . Подставив значения зарядов, найдём: Q=\frac{C E^{2}}{2} .

Ответ 1. U_{C}=\dfrac{2 E}{3}, \quad U_{2 C}=\dfrac{E}{3} ; 2. Q=\dfrac{C E^{2}}{2} .

Условие

До замыкания ключа конденсатор емкости C_{1} не заряжен, а конденсатор емкости C_{2} \left(C_{2} \gg C_{1}\right) заряжен до заряда q_{0} . Определите максимальный заряд на первом конденсаторе после замыкания ключа. Источник с ЭДС \mathscr{E} идеален. Резисторы R_{1} и R_{2} . (см. рис.)

Решение

Запишем характерное время зарядки конденсаторов: \begin{cases}

\begin{aligned}

& \tau_1 = C_1R_1 \\

& \tau_2 = C_2R_2

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \tau_{2} \gg \tau_{1} \quad \left(C_{2} \gg C_{1}\right) . Получается, что заряд на втором конденсаторе не успеет измениться к тому моменту, когда первый конденсатор полностью зарядится.

При максимальном заряде на первом конденсаторе ток через него не течёт, поскольку полностью заряженный конденсатор эквивалентен разрыву в цепи постоянного тока. Тогда можем написать второе уравнение Кирхгофа: \mathscr{E} = IR_1 + IR_2 + \dfrac{q_0}{C_2} \quad \Rightarrow \quad I = \dfrac{\mathscr{E} - \frac{q_0}{C_2}}{R_1 + R_2}.

Тогда заряд на первом конденсаторе: q = C_1 U_1 = C_1 R_1I = \dfrac{C_1R_1}{R_1+R_2} \cdot (\mathscr{E} - \frac{q_0}{C_2}).

Ответ q = \dfrac{C_1R_1}{R_1+R_2} \cdot (\mathscr{E} - \frac{q_0}{C_2}).

Условие

Проводящий шар радиуса r окружен проводящей полусферой радиуса R . Они оба заряжены до заряда Q . Какое тепло выделится на резисторе, если шар заземлить?

Решение

Запишем потенциал в центре шара радиуса r в зависимости от заряда на нём: \varphi (q) = \dfrac{kq}{r} + \dfrac{kQ}{R}. В начальный момент времени: \varphi_0 = \dfrac{kQ}{r} + \dfrac{kQ}{R}. При заземлении конечный потенциал шара сравнится с потенциалом земли: \varphi_1 = 0. Тогда конечный радиус: q_{к} = - Q\dfrac{r}{R}.

Запишем закон Джоуля-Ленца: \operatorname{d}W = RI^2\operatorname{d}t = (\varphi_1 - \varphi (q)) \operatorname{d} q = -k\left(\dfrac{q}{r} + \dfrac{Q}{R}\right) \operatorname{d} q \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad W = -k\int\limits_Q^{q_{к}} \left(\dfrac{q}{r} + \dfrac{Q}{R}\right) \operatorname{d} q = -k\left.\left(\dfrac{q^2}{2r} + \dfrac{Qq}{R}\right)\right|_{Q}^{q_{к}} = k\left[ \left(\dfrac{Q^2}{2r} + \dfrac{Q^2}{R} \right) -\left(\dfrac{Q^2r}{2R^2} - \dfrac{Q^2r}{R^2} \right)\right] = = kQ^2 \left( \dfrac{1}{2r} + \dfrac{1}{R} + \dfrac{r}{2R^2} \right) = \dfrac{kQ^2}{2r} \cdot \left( 1 + 2\dfrac{r}{R} + \dfrac{r^2}{R^2} \right) = \dfrac{kQ^2}{2r} \cdot \left( 1 + \dfrac{r}{R} \right)^2.

Также эту задачу можно было решить графическим методом, а именно поиском площади под графиком \varphi (q) :

7s W = \dfrac{1}{2} \cdot \varphi_0 \cdot (Q - q_{к}) = \dfrac{1}{2} \cdot kQ \cdot \left( \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{R} \right) \cdot Q \cdot \left( 1 + \dfrac{r}{R} \right) = \dfrac{kQ^2}{2r} \cdot \left( 1 + \dfrac{r}{R} \right)^2. Ответ W=\dfrac{kQ^2}{2r} \cdot \left( 1 + \dfrac{r}{R} \right)^2 .