ЗСЭ и ЗСИ Часть 2: Часть 1

Задача 1

Условие

Брусок массой M покоится на гладкой горизонтальной поверхности. В бруске просверлен тонкий канал, состоящий из трёх участков: горизонтального, вертикального и плавно их соединяющего изогнутого участка (рис.). В канал влетает с некоторой горизонтальной скоростью маленький шарик массой m . В процессе движения шарик поднимается до максимальной высоты H в вертикальном канале. Определите скорости v_1 шарика и v_2 бруска сразу после того как шарик выскользнет из канала. Трение не учитывайте.

1 Решение

В момент максимального подъёма шарика на высоту H его скорость относительно бруска равна нулю, то есть шарик и брусок движутся с одной и той же скоростью v . Запишем закон сохранения импульса для системы шарик–брусок: m v_0 = (m+M)v Откуда общая скорость в момент максимального подъёма: v = \frac{m}{M+m}v_0

Запишем закон сохранения энергии (потенциальную энергию отсчитываем от уровня горизонтального канала, E_n = 0 ): \frac{m v_0^2}{2} = mgH + \frac{(m+M)v^2}{2}

Подставим выражение для v : \frac{m v_0^2}{2} = mgH + \frac{v_0^2 m^2}{2(M+m)} \;\Rightarrow\; \frac{v_0^2}{2}\left(m - \frac{m^2}{M+m}\right) = mgH

Преобразуем выражение в скобках: \frac{v_0^2}{2}\cdot\frac{Mm}{M+m} = mgH \;\Rightarrow\; v_0 = \sqrt{2gH\left(1+\frac{m}{M}\right)}

После того как шарик выскользнет из канала, происходит фактически упругое взаимодействие (потенциальная энергия снова равна нулю, как до влёта в канал). Запишем законы сохранения импульса и энергии: m v_0 = -m v_1 + M v_2 \;\Rightarrow\; m(v_0 + v_1) = M v_2 \frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{M v_2^2}{2} \;\Rightarrow\; m(v_0^2 - v_1^2) = M v_2^2

Разделим второе уравнение на первое (при условии v_0 \neq v_1 ): v_0 - v_1 = v_2

Подставим это в уравнение импульсов: m(v_0 + v_1) = M(v_0 - v_1) \;\Rightarrow\; v_1(m+M) = v_0(M-m)

Получаем скорости после вылета шарика из канала: v_1 = v_0 \frac{M-m}{M+m} = \frac{M-m}{M+m}\sqrt{2gH\left(1+\frac{m}{M}\right)}

v_2 = v_0 - v_0\frac{M-m}{M+m} = v_0\frac{2m}{M+m} \;\Rightarrow\; v_2 = \frac{2m}{M+m}\sqrt{2gH\left(1+\frac{m}{M}\right)} Ответ: v_1 = \dfrac{M-m}{M+m}\sqrt{2gH\left(1+\dfrac{m}{M}\right)} , v_2 = \dfrac{2m}{M+m}\sqrt{2gH\left(1+\dfrac{m}{M}\right)}

Задача 2

Условие

Тонкостенный цилиндр массой m насажен с помощью лёгких спиц на горизонтальную ось O , закреплённую на санках (рис.), и может вращаться вокруг неё без трения. Масса цилиндра вместе с санками равна M . Мальчик тянет санки в горизонтальном направлении с постоянной силой F за лёгкий трос, намотанный на цилиндр. В результате за некоторое время санки из состояния покоя переместились по гладкой горизонтальной дороге на расстояние S .

1) Какой скорости V_1 достигли бы санки, пройдя путь S , если бы цилиндр был заторможен в оси и не мог вращаться?

2) Какой скорости V_2 достигли санки, пройдя путь S , при незаторможенном цилиндре?

3) Какую работу совершил мальчик при незаторможенном цилиндре?

2 Решение

1) Если цилиндр заторможен, к санкам приложена сила F , и по второму закону Ньютона: F = Ma \;\Rightarrow\; a = \frac{F}{M}

По кинематической формуле 2Sa = v^2 - v_0^2 (где v_0 = 0 ): v = \sqrt{2Sa} = \sqrt{\frac{2SF}{M}} \boxed{V_1 = \sqrt{\frac{2FS}{M}}} 2) Вращение цилиндра - это внутренний процесс, поэтому оно не поменяет равнодействующую внешних сил. Значит, ускорение в первом и в втором случае будут одинаковы. Тогда скорости v_1 и v_2 будут одинаковыми.

3)Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии санок и кинетической энергии вращающегося цилиндра (тонкостенный цилиндр представляем как сумму материальных точек массы m_i , движущихся со скоростями v_i ): E_{к} = \frac{M v^2}{2} + \frac{\sum m_i v_i^2}{2} = \frac{M v^2}{2} + \frac{m v_i^2}{2} (для тонкостенного цилиндра все точки движутся с одинаковой по модулю скоростью v_i относительно оси)

По теореме о кинетической энергии A = \Delta E_{к} = E_{к} (так как v_0 = 0 ). Запишем приращение работы: \Delta A = F \Delta x = \frac{1}{2}M v \Delta v \cdot 2 + \frac{1}{2}m v_i \Delta v_i \cdot 2

При этом перемещение точки приложения силы (на тросе) складывается из перемещения санок и перемещения за счёт сматывания троса с цилиндра: \Delta x = v \Delta t + v_i \Delta t = \Delta t(v + v_i)

Используем второй закон Ньютона для санок: F \Delta t = M \Delta v \;\Rightarrow\; F = \frac{M \Delta v}{\Delta t}

Подставим: \frac{M \Delta v}{\Delta t}\left(\Delta t(v+v_i)\right) = M v \Delta v + m v_i \Delta v_i M \Delta v \cdot v + M \Delta v \cdot v_i = M v \Delta v + m v_i \Delta v_i

Первые слагаемые в обеих частях сокращаются, получаем: M \Delta v = m \Delta v_i

Это соотношение справедливо в каждый момент времени, поэтому, суммируя: \sum M \Delta v = \sum m \Delta v_i M v_1 = m v_i

Работа мальчика равна полной кинетической энергии системы: A = \frac{M v_1^2}{2} + \frac{m M^2 v_1^2}{2 m^2} = \frac{M v_1^2}{2}\left(1 + \frac{M}{m}\right)

Подставляя \dfrac{M v_1^2}{2} = FS , получаем: \boxed{A = FS\left(1 + \frac{M}{m}\right)}

Ответ: V_1 = V_2 = \sqrt{\dfrac{2FS}{M}} ; A = FS\left(1 + \dfrac{M}{m}\right)