ЗСЭ и ЗСИ Часть 1: Часть 1

Задача 1

2021-2022 год, отборочный тур олимпиады «МОШ» , 11 класс

Условие

Тазик на колёсиках движется под дождём по горизонтальной дороге. Суммарная масса капель в единице объёма равна \rho , а их скорость вблизи поверхности земли равна v . Площадь верхнего горизонтального сечения тазика равна S . В нулевой момент ( t = 0 ) таз пустой, его масса вместе с колёсами равна M , а скорость равна v_0 ( v_0 \ll u ). Далее везде силой трения качения и силой сопротивления воздуха можно пренебречь.

1 A. Пусть в дне таза есть небольшое отверстие. Дождевая вода, попадая в таз, стекает на дно, распределяется по нему тонким слоем и вытекает через отверстие. Можно считать, что масса воды в тазу пренебрежимо мала по сравнению с массой таза.

A1) Какое расстояние L_1 пройдёт таз до остановки, если капли падают вертикально?

A2) Подул встречный (для тазика) ветер, так что горизонтальная составляющая скорости капель вблизи земли оказалась равна w , а вертикальная — равна u . Какое расстояние L_2 пройдет тазик до остановки, если время движения равно t ?

B. В этой части задачи считается, что дырок в тазике нет, вся попадающая в таз дождевая вода остаётся в нём. За рассматриваемое время вода не заполняет таз целиком и не переливается через борт. Ветра нет, скорость капель вертикальна.

B1) Определите зависимость скорости таза от времени v(t) в этом случае.

B2) Если таз проходит расстояние S к моменту, когда масса воды в нём становится равна массе таза M , то какое расстояние он пройдёт к моменту, когда масса воды в нём станет равна 3M ?

Решение

Рассмотрим массу капель, попадающих в таз: \Delta m = \rho V = \rho S \cos\alpha v_1 \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \rho S u \Delta t. А1) Поскольку масса воды в тазу пренебрежимо мала по сравнению с массой таза, то M = const . Вспомним 2 закон Ньютона в импульсной форме:

\Delta \vec{p} = \vec{F}_{вш} \cdot \Delta t. Для капель в проекциях на горизонтальную ось: \Delta m v_0 - 0 = F_{вш} \cdot \Delta t. Для тазика: M \Delta v = F_{кап} \Delta t. По 3 закону ньютона:

F_{вш} = - F_{кап}. Тогда:

\rho S u \Delta t \cdot v_0 = -M \Delta v. Просуммируем: \sum \rho S u (\Delta t v_0) = \sum (-M \Delta v) \quad \Rightarrow \quad \rho S u L_1 = -M(0 - v_0) \quad \Rightarrow \quad L_1 = \frac{M v_0}{\rho S u}. А2) В данном случае второй закон Ньютона в импульсной форме при \Delta t \to 0 для капель будет выглядеть следующим образом: \Delta m \cdot v_0 - (-\Delta m w) = F_{тел} \Delta t. Для тележки:

M \Delta v = F_{кап} \Delta t. В соответствии с 3 законом Ньютона F_{кап}=-F_{тел} . Тогда:

\rho S u \Delta t (v_0 + w) = -M \Delta v. Просуммируем: \sum \rho S u \Delta t (v_0 + w) = \sum (-M \Delta v) \implies \rho S u \left(\sum v_0 \Delta t + \sum w \Delta t\right) = -\sum M \Delta v. Получаем:

\rho S u (L_2 + w t) = M v_0 \implies L_2 = \frac{M v_0}{\rho S u} - w t

В1) 1. Все капли остаются в тазике, поэтому масса системы меняется; 2. На систему не действуют внешние силы, поэтому её можем считать замкнутой, следовательно, импульс системы сохраняется: M v_0 = (M + m)v(t) m = \rho S u t \implies v(t) = \frac{M}{M + \rho S u t} v_0

В2) В начальный момент времени скорость тележки v_0 . Пусть время, за которое тележка прошла расстояние S , \tau . Тогда по определению: S = \int\limits_0^{\tau} v(t) dt = \int\limits_0^{\tau} \frac{M v_0}{M + \rho S u t} dt = \frac{M v_0}{\rho S u} \left( \ln |M + \rho S u t| \Big|_0^{\tau} \right) = = \frac{M v_0}{\rho S u} (\ln(M + \rho S u \tau) - \ln M) = [\rho S u \tau = M \, (\text{по условию})] = \frac{M v_0}{\rho S u} \ln 2 Пусть время, за которое тележка прошла расстояние S_2 , \tau_2 . Тогда: \rho S u \tau_2 = 3M \quad \Rightarrow \quad S_2 = \frac{M v_0}{\rho S u} \ln 4 \quad \Rightarrow \quad S_2 = 2S. Нарисуем график зависимости скорости от времени:

1 Ответ A1) L_1 = \frac{M v_0}{\rho u S} ; A2) L_2 = \frac{M v_0}{\rho u S} - wt ; B1) v(t) = \frac{M v_0}{M + \rho u S t} ; B2) S_1 = 2S .