Задача: Фазовые переходы, Закон Фурье

В тонкостенном цилиндрическом сосуде внутреннего радиуса \(R\) под поршнем находится столб воды высотой \(h_{1}\) при температуре \(t_{0}=0{ }^{\circ} \mathrm{C}\) . Поршень и дно цилиндра теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки пропорциональна площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды \(N=\alpha \cdot S \Delta t\) , где \(\alpha\) известная константа. Цилиндр вертикально ставят в холодильник, начальная температура в котором равна \(t_{1}<0{ }^{\circ} \mathrm{C}\) . Далее температуру в холодильнике изменяют так, что поршень цилиндра перемещается с постоянной скоростью. Лёд, образующийся в цилиндре, не мешает свободному движению поршня. Более того, лёд не всплывает над поверхностью воды, а упирается в поршень, будучи полностью погружённым в воду, время от времени отрываясь от стенок сосуда. Удельная теплота плавления льда \(\lambda\) , плотности воды \(\rho_{\text{в}}\) , плотность льда \(\rho_{\text {л}}\) . 1) Определите в какую сторону и с какой скоростью \(v\) перемещается поршень. 2) Найдите в течение какого промежутка времени \(\tau_{\max}\) продолжается такое движение. 3) Установите зависимость температуры \(t\) в холодильнике от времени \(\tau\) в промежутке времени \(\left[0, \tau_{\max }\right]\) . Выразите её через \(h_{1}, t_{0}, t_{1}, v, \tau\) . 4) Найдите температуру в момент времени \(\tau_{\max }\) . Выразите через \(t_{0}, t_{1}, \rho_{\text{в}}\) , \(\rho_{\text {л}}\) .