Ядерные реакции.

Задача 4

Условие

При взаимодействии протонов с кинетической энергией 30,24 МэВ с покоящимися ядрами азота-15 произошла реакция { }_{1}^{1} p+{ }_{7}^{15} \mathrm{~N} \rightarrow{ }_{2}^{4} \mathrm{He}+2 \mathrm{X} , в которой образовавшиеся одинаковые неизвестные ядра полетели во взаимно-перпендикулярных направлениях, а \alpha -частица - в направлении, перпендикулярном направлению движения протона. Определите ядро X . Известно, что энергия этой реакции Q \approx-23,2 МэВ. Определите энергию образовавшейся \alpha частицы.

Решение

Из законов сохранения зарядового и массового чисел находим, что Z_{X}=[(7+1)-2] / 2=3, A_{X}=[(15+1)-4] / 2=6 Итак, неизвестное ядро - это литий-6. Перегруппировав слагаемые в законе сохранения импульса для этой реакции: \vec{p}_{p}=\vec{p}_{\alpha}+\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2} \Rightarrow \vec{p}_{p}-\vec{p}_{\alpha}=\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2} можно, возводя обе стороны скалярно в квадрат и учитывая попарную перпендикулярность векторов, получить уравнение для кинетических энергий: \left(\vec{p}_{p}-\vec{p}_{\alpha}\right)^{2}=\left(\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}\right)^{2} \Rightarrow p_{p}^{2}+p_{\alpha}^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2} \Rightarrow 2 m_{p} T_{p}+2 m_{\alpha} T_{\alpha}=2 m_{L i}\left(T_{1}+T_{2}\right) или, с учетом значений масс, T_{p}+4 T_{\alpha}=6\left(T_{1}+T_{2}\right) . С другой стороны, из закона сохранения энергии: T_{p}+Q=T_{\alpha}+T_{1}+T_{2}=T_{\alpha}+\frac{1}{6}\left(T_{p}+4 T_{\alpha}\right) \Rightarrow T_{\alpha}=\frac{1}{2} T_{p}+\frac{3}{5} Q \approx 1,2 МэВ.

Ответ 1,2 МэВ.

Задача 5

Условие

При \alpha -распаде радона-222 энергия реакции Q \approx 5,59 МэВ. Определить кинетическую энергию рожденной \alpha -частицы в системе отсчета, связанной с ядром { }_{86}^{22} R n .

Решение

Нетрудно, пользуясь правилами изменения зарядового и массового чисел при \alpha распаде, обнаружить, что в результате распада образуется ядро полония-218 (этот распад действительно происходит - период полураспада для него примерно равен 3,82 дня. В заданной системе отсчета полный импульс рожденных ядер равен нулю, так что модули импульсов \alpha -частицы и ядра полония равны. Значит, их кинетические энергии обратно пропорциональны массам: T_{\alpha}=\frac{218}{4} T_{P o}=\frac{109}{2} T_{P o} . С другой стороны, T_{\alpha}+T_{P o}=Q , откуда находим T_{\alpha}=\frac{109}{111} Q \approx 5,46 МэВ.

Ответ T_{\alpha}=\frac{109}{111} Q \approx 5,46 MэB.

Задача 6

Условие

Определите максимальную возможную кинетическую энергию электронов в \beta -распаде ядра трития { }_{1}^{3} \mathrm{H} \rightarrow{ }_{2}^{3} \mathrm{He}+e^{-}+\bar{v}_{e} . Известно, что массы атомов сверхтяжелого водорода и гелия-3 примерно равны 14,950 МэВ / \mathrm{c}^{2} и 14,931 МэВ / \mathrm{c}^{2} соответственно.

Решение

Эта задача известна как задача о «верхнем крае \beta -спектра трития». При записи закона сохранения энергии важно обратить внимание, что в нейтральном атоме гелия два электрона, то есть на один больше, чем в атоме сверхтяжелого водорода, так что разность энергий покоя атомов с большой точностью соответствует разности энергий связи их ядер (вспомним, что энергии связи электронов с ядрами порядка десятков электронвольт, то есть намного меньше ошибок предоставленных данных), поэтому сумма кинетических энергий рожденных частиц T_{H e}+T_{e}+T_{v} \approx m_{H} c^{2}-m_{H e} c^{2} \approx 19 кэВ. Ясно, что максимум энергии (и модуля импульса) электрона соответствует ситуации, когда импульс электрона направлен против суммарного импульса ядра гелия и антинейтрино, а энергия антинейтрино минимальна. Так масса электронного антинейтрино очень мала (по современным данным, точно менее 0,1 эВ), то его минимальная энергия практически равна нулю. Так как при этом импульсы электрона и ядра гелия-3 равны, а их массы различаются более чем в 5 тысяч раз, то и кинетическая энергия ядра гелия очень мала по сравнению с кинетической энергией электрона, так что T_{e \text { max }} \approx 19 кэВ. В 70-е - 80-е годы XX века, когда степень малости нейтринных масс еще не была известна (допускалось, что масса \bar{v}_{e} может оказаться порядка нескольких десятков эВ), экспериментаторы пытались измерить массу электронного нейтрино (и антинейтрино - они по законам физики элементарных частиц должны совпадать) как раз с помощью измерения верхнего края \beta -спектра трития, а также энергий покоя ядер { }_{1}^{3} \mathrm{H} и { }_{2}^{3} \mathrm{He} с точностью до одного эВ. Но сделать это не удалось - именно потому, что энергия покоя нейтрино все-таки намного меньше эВ, а провести измерения с большей точностью тогда экспериментаторы не смогли.

Ответ T_{\text {emax }} \approx m_{H} c^{2}-m_{H e} c^{2} \approx 19 кэВ.

Два ядра лития-6, летевшие во взаимно-перпендикулярных направлениях с одинаковыми кинетическими энергиями T = 50 МэВ, столкнулись. Произошла реакция ^6_3Li + ^6_3Li \to ^4_2He + ^8_4Be , энергия которой Q = 31{,}9 МэВ, и рожденные ядра гелия-4 и бериллия-8 тоже полетели во взаимно-перпендикулярных направлениях. Во сколько раз кинетическая энергия ядра гелия-4 больше кинетической энергии ядра бериллия-8? Ответ запишите с точностью до десятых.

Энергия реакции \beta -распада свободного нейтрона n \to p + e^- + \bar{\nu}_e Q_\beta \approx 0{,}782 МэВ. Найдите максимально возможную кинетическую энергию протона при распаде покоящегося нейтрона. Энергия покоя протона m_pc^2 \approx 938{,}3 МэВ. Ответ запишите в кэВ, с точностью до сотых.

Указание: При расчете квадрата импульса электрона по его кинетической энергии следует использовать формулу СТО: c^2\vec{p}_e^2 = (m_ec^2 + T_e)^2 - m_e^2c^4 = T_e^2 + 2m_ec^2T_e .