Теория Друде

Объяснение закона Джоуля-Ленца Чтобы рассчитать энергию, которую передает узлу при столкновении один электрон, воспользуемся уже вычисленной скоростью перед столкновением и уже упоминавшимся условием Друде (скорость электрона после столкновения равна нулю): $$ w_{e}=\frac{m v_{\max }^2}{2}=\frac{m e^2 E^2 \bar{\tau}^2}{2 m^2}=\frac{e^2 E^2 \bar{\tau}^2}{2 m} . $$ За единицу времени электрон сталкивается с узлами решетки в среднем $\bar{z}=\frac{1}{\bar{\tau}}$ раз. В таком случае плотность энергии в единице объёма проводника равна: $$ \omega = n \bar{z} w_{e} = \frac{n \bar{z} e^2 E^2 \bar{\tau}^2}{2 m}=\frac{n e^2 \bar{\tau}^2}{2 \bar{\tau} m} E^2=\frac{n e^2 \bar{\tau}}{2 m} E^2 . $$ Сопоставив получившееся выражение с формулой для удельной проводимости, получим закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: $$ \omega=\sigma E^2. $$ Объяснение закона Видемана-Франца Закон установлен эмпирически в 1853 г. и связывает коэффициенты электропроводности и теплопроводности металлов: $$ \frac{\chi}{\sigma}=A T, $$ где $\chi$ - коэффициент теплопроводности; $A=2,21 \cdot 10^{-8} Вт /$ К $^2$ - определенная экспериментально, постоянная, одинаковая для всех металлов. Поскольку металлы хорошие проводники тепла, а диэлектрики плохие, логично предположить, что теплопроводность металлов обусловлена свободными электронами. Тогда согласно молекулярно-кинетической теории газов $$ \chi=n k \bar{u} \frac{\bar{\lambda}}{2}, $$ где в данном случае $n, \bar{u}, \bar{\lambda}$ - концентрация, средняя скорость и средняя длина свободного пробега электронов в металле; $k$ - постоянная Больцмана. Разделив предыдущее выражение на формулу для удельного сопротивления, получим: $$ \frac{\chi}{\sigma}=\frac{n k \bar{u} \bar{\lambda} \cdot 2 m \bar{u}}{n e^2 \bar{\lambda} \cdot 2}=\frac{k \bar{u}^2 m}{e^2} . $$ Так как $$\frac{m \bar{u}^2}{2}=\frac{3}{2} k T,$$ то $$ \frac{\chi}{\sigma}=\frac{3 k^2}{e^2} T \text {, } $$ где $\displaystyle \frac{3 k^2}{e^2}=A=\frac{3 \cdot\left(1,38 \cdot 10^{-23}\right)^2}{\left(1,6 \cdot 10^{-19}\right)^2}=2,23 \cdot 10^{-8}$ Вт$/$К$^2$. Совпадение экспериментальных значений постоянной $A$ и рассчитанной согласно теории Друде убедительное. Некоторые феномены, противоречащие теории Друде Классическая теория удовлетворительно объясняет законы Ома, Джоуля-Ленца, Видемана-Франца и т. д. Однако она не в состоянии объяснить: 1) Температурную зависимость металлов от температуры. Согласно нашим выкладкам: $$ \sigma=\frac{n e^2 \bar{\lambda}}{2 m \bar{u}}, \rho=\frac{1}{\sigma}=\frac{2 m \bar{u}}{n e^2 \bar{\lambda}}=\frac{2 m}{n e^2 \bar{\lambda}} \sqrt{\frac{3 k T}{m}}, $$ т. е. удельное сопротивление проводника пропорционально $\sqrt{T}$, тогда как согласно на практике, в диапазоне <<обычных>> температур, оно прямо пропорционально абсолютной температуре в первой степени. 2) Закон Дюлонга и Пти для проводников. Согласно этому экспериментальному закону молярная (атомная) теплоемкость всех твердых тел при постоянном объеме $N_V=3 R=25$ Дж/(К$\cdot$моль). Однако электроны проводимости в металле являются электронным (одноатомным) газом, и они должны вносить свой вклад в значение теплоемкости металла. Атомная теплоемкость такого газа определяется по формуле $n=\frac{3 R}{2}=12,5$ Дж/(К$\cdot$моль). В таком случае атомная теплоемкость всех металлов должна быть $N=N_V+c=37.5$ Дж/(К$\cdot$моль). Отдельным интересным предметом для изучения остаётся эффект Холла и связанные с ним применения теории Друде, ознакомиться с которыми Вам предлагается самостоятельно.