Теория Друде

Вывод удельного сопротивления вещества

При наличии электрического поля внутри проводника на каждый электрон действует сила F = e E , где E - модуль напряженности электрического поля. Под действием этой силы, по второму закону Ньютона, электрон движется с ускорением

a =\frac{F}{m}=\frac{e E}{m}. Ускоренное направленное движение электрона наблюдается только между двумя столкновениями с ионами. После столкновения, согласно Друде, скорость электрона равна нулю, а перед столкновением она определяется по формуле:

v_{\max }=a \tau=\frac{e E}{m} \tau, где \tau - время свободного пробега. Средняя скорость направленного движения электронов

\bar{v}=\frac{v_{\text {max }}+0}{2}=\frac{e E}{2 m} \bar{\tau}, где среднее значение времени свободного пробега электрона

\bar{\tau}=\frac{\bar{\lambda}}{\bar{u}+\bar{v}}=\frac{\bar{\lambda}}{\bar{u}}, поскольку \bar{u} \gg \bar{v} . Здесь \bar{\lambda} - средняя длина свободного пробега электрона. Тогда из предыдущего уравнения получим:

\bar{v}=\frac{e \bar{\lambda}}{2 m \bar{u}} E . Подставив это уравнение в базовое соотношение для плотности тока, получим

j=e n \bar{v}=e n \frac{e \bar{\lambda}}{2 m \bar{u}} E=\frac{n e^2 \bar{\lambda}}{2 m \bar{u}} E. Сравнив это уравнение с законом Ома в дифференциальной форме (j=\sigma E ), получим выражение для удельной электропроводности проводников:

\sigma=\frac{n e^2 \bar{\lambda}}{2 m \bar{u}}=\frac{n e^2}{2 m} \bar{\tau}, то есть \rho = \frac{2m}{n e^2 \bar{\tau}}.

В последнюю формулу входит среднее время свободного пробега электронов, т. е. среднее время между двумя столкновениями электронов с узлами кристаллической решетки. Чем это время больше, тем выше электропроводность проводника. Следовательно, классическая теория электропроводности металлов объясняет электрическое сопротивление металлов столкновением электронов с узлами кристаллической решетки.