Свойства атомных ядер. Капельная модель ядра. Модели ядерных реакций

Часть 2: Капельная модель ядра и формула Вайцзекера. Видео

Часть 2: Капельная модель ядра и формула Вайцзекера

Для последовательного описания ядерных явлений нужно использовать теоретическую модель строения ядра, позволяющая не просто классифицировать нуклиды, но анализировать их энергетику. Для этого в рамках общей нуклонной модели теоретики создавали модели, позволяющие рассчитывать энергию связи - как мы видели, именно эта величина входит в уравнения энергетического баланса любой ядерной реакции. Первой моделью такого типа, в рамках которой удалось получить пригодные для практического использования соотношения, стала капельная модель ядра. Согласно этой модели, атомное ядро можно представить в виде «почти» сферической равномерно заряженной капли из особой ядерной материи («нуклонной жидкости»), которая обладает рядом специфических свойств:

Нуклонная жидкость несжимаема и имеет постоянную плотность \rho \approx 4 \cdot 10^{13} г/см { }^{3} .

Силы взаимодействия нуклонов («ядерные силы») имеют конечный радиус действия (порядка 10^{-13} см) и обладают свойством насыщения: нуклон в ядре взаимодействует только с ближайшими соседями. В результате энергия взаимодействия нуклона внутри ядра с остальными нуклонами одинакова.

Силы взаимодействия нуклонов почти не различают протоны и нейтроны, но существенно зависят от взаимной ориентации их спинов - нуклоны с сонаправленными спинами притягиваются существенно сильнее, чем с противонаправленными.

Ядро-капля обладает поверхностным натяжением (нуклоны на поверхности ядра имеют меньшее количество «ближайших соседей», и энергия их взаимодействия с ними отличается от энергии взаимодействия «внутренних» нуклонов).

Возможно дробление капли на более мелкие (деление ядер), слияние мелких капель в одну большую (синтез ядер).

Видно, что первое из этих положений по сути отражает тот факт, что (как мы узнали из анализа экспериментальных данных) зарядовый радиус ядра растет как корень кубический из массы. Используя капельную модель, физики получили полуэмпирическую формулу Вайцзеккера, позволяющую вычислить энергию связи ядра, а значит и его массу. Рассмотрим последовательно все вклады в энергию связи, которые должны возникать в этой модели (не забывая, конечно, что уыеличение энергии связи отвечает уменьшению полной энергии системы нуклонов и наоборот).

На каждый из «внутренних» нуклонов приходится одинаковая энергия притяжения к ближайшим соседям. Если число нуклонов достаточно велико, то «внутренних» нуклонов гораздо больше, чем поверхностных, и приближенно можно считать, что энергия связи пропорциональна количеству нуклонов, т.е. числу A . Этот вклад в энергию связи обычно называют «объемным»: E_{V}(A, Z)=a_{1} \cdot A .

Для «поверхностных» нуклонов вклад в энергию связи оказывается меньше, чем для «внутренних», поэтому для более точного вычисления нужно ввести в выражение для энергии связи отрицательный «поверхностный» вклад, пропорциональный площади поверхности (т.е. квадрату радиуса): E_{S}(A, Z)=-a_{2} \cdot A^{2 / 3} .

Энергия связи также уменьшается за счет электростатического отталкивания протонов. В электростатике известна формула для энергии самодействия равномерно заряженного шара с зарядом q и радиусом R: E=\frac{3}{5} \frac{k q^{2}}{R} . Таким образом, «кулоновский» вклад в энергию связи E_{C}(A, Z) \approx-\frac{3 k e^{2}}{5 R_{1}} \frac{Z^{2}}{A^{1 / 3}} \equiv-a_{3} \frac{Z^{2}}{A^{1 / 3}} . В действительности эта формула хорошо работает только при достаточно большом количестве протонов в ядре ( Z\gg 1 ), так как при малых Z распределение заряда не вполне однородно (что немного уменьшает энергию отталкивания, так как заряды расположены менее компактно), а при Z=1 одиночному протону вообще не с кем взаимодействовать электростатическим образом. Поэтому иногда эту формулу модифицируют так, чтобы она при больших Z давала практически такой же результат, а при малых описывала ситуацию чуть лучше. Тогда пишут, что E_{C}(A, Z) \approx-a_{3} \frac{Z(Z-1)}{A^{1 / 3}} .

Важно учесть квантовые свойства нуклонов, которые имеют спин, равный 1 / 2 , то есть являются фермионами. Нуклоны каждого сорта (протоны и нейтроны) независимо занимают «свои» энергетические уровни в поле ядра, причем положение этих уровней не слишком сильно различается для протонов и нейтронов (ядерное взаимодействие их не различает, а электромагнитное внутри ядра намного слабее ядерного). Поэтому добавление к нуклиду одного протона и одного нейтрона обычно энергетически более выгодно, чем двух протонов или двух нейтронов. Значит, наиболее выгодное состояние соответствует равенству количеств нейтронов и протонов, то есть A-Z=Z \Rightarrow Z=A / 2 , и отклонения от этого соотношения должны приводить к уменьшению энергии связи нуклида. Соответствующую поправку называют «поправкой на протон-нейтронную асимметрию»: E_{A}(A, Z) \approx-a_{4} \frac{(Z-A / 2)^{2}}{A} . Появление A в знаменателе связано с тем, что при большом количестве нуклонов различия в энергии «верхних» занятых уровней убывает. К тому же такое выражение неплохо согласуется с экспериментом.

Наконец, изучение нуклон-нуклонных взаимодействий показывает, что нуклоном энергетически выгодно образовывать внутри ядра «двухнуклонные» и «четырехнуклонные» кластеры. Такая кластеризация увеличивает энергию связи. Поэтому ядра, имеющие четные количества протонов и нейтронов, обладают большей энергией связи, чем имеющие нечетные количества. Поправка на «четность» определяется следующей формулой:

E_{P}(A, Z) \equiv \Delta(A, Z) \approx\left\{\begin{array}{l}

+\Delta, \text { для четно - четных ядер } \\

0, \text { для четно - нечетных и нечетно - четных ядер }, \\

-\Delta, \text { для нечетно - нечетных ядер }

\end{array}\right.

где \Delta=a_{5} \cdot A^{-3 / 4} . Термины «четный» и «нечетный» относятся к величинам Z и A-Z .

Таким образом, мы построили упомянутую выше формулу Вайцзеккера:

E_{c}(A, Z) \approx a_{1} \cdot A-a_{2} \cdot A^{2 / 3}-a_{3} \frac{Z^{2}}{A^{1 / 3}}-a_{4} \frac{(Z-A / 2)^{2}}{A}+\Delta(A, Z)

Коэффициенты в этой формуле подбираются исходя из экспериментальных данных. Наиболее близкие к реальности результаты получаются при следующих значениях:

a_{1}

a_{2}

a_{3}

a_{4}

a_{5}

15,6 \text{ МэВ}

17,2 \text{ МэВ}

0,71 \text{ МэВ}

23,7 \text{ МэВ}

34 \text{ МэВ}

Эта формула позволяет производить анализ очень многих свойств ядер. Например, мы можем получить уравнение «кривой наибольшей стабильности», то есть найти Z для нуклида с заданным A , энергия связи которого будет максимальна. Возьмем для упрощения формулу без последнего слагаемого (оно зависит от Z «скачкообразно», и его нельзя продифференцировать «обычным» образом), и потребуем, чтобы \frac{\partial E_{c}}{\partial Z}=0 . Тогда получим, что Z_{c m}(A) \approx \frac{A}{2\left[1+\left(a_{3} / a_{4}\right) A^{2 / 3}\right]} . Поскольку \frac{a_{3}}{a_{4}} \approx 0,03\lt\lt1 , то при небольших A Z_{c m}(A) \approx \frac{A}{2} (число нейтронов равно числу протонов), а при росте массового числа число протонов растет медленнее, чем общее число нуклонов - нейтронов становится больше, чем протонов. Ясно, что в действительности из-за неучтенного последнего слагаемого среди близких к полученной «кривой» нуклидов более устойчивыми будут четно-четные.

Вместе с тем следует отметить, что эта формула учитывает не все квантовые свойства ядра как системы нуклонов. На самом деле, как и в случае электронов в атоме, уровни энергии нуклонов собраны в «группы» (расстояние по энергии между уровнями в группе заметно меньше, чем такие расстояния между группами) - в зависимости от значений их квантовых чисел. Такие «группы» в квантовой механике называют «оболочками». Поэтому нуклиды, у которых заполнены все уровни набора оболочек, существенно более устойчивы, чем соседние. Числа нуклонов, отвечающих таким нуклидам, называют «магическими». Поскольку взаимодействие нейтрона и протона с полем ядра немного различается (в первую очередь - из-за вклада электромагнитного взаимодействия), то и «магические» числа для нейтронов и протонов различны. Расчетные значения «магических» чисел таковы:

N=A-Z

2

8

20

28

50

82

126

184

Z

2

8

20

50

82

114

126

164

Для уже исследованных ядер эта закономерность подтверждается экспериментально. Особенно устойчивы «дважды магические» ядра, у которых и число нейтронов, и число протонов являются «магическими».

С помощью формулы Вайцзекера рассчитайте энергию связи ядра кислорода-16. Ответ запишите в МэВ, с точностью до целого значения.