Статика с гидростатикой

Задача 3

Условие

На рисунке представлена система из трех невесомых блоков и грузов. Крайние грузы сделаны из алюминия, а средний из пластилина. Масса левого груза m = 2 кг . Система находится в равновесии. Какой объем пластилина следует прилепить или отлепить от среднего груза, чтобы система находилась в равновесии, когда все грузы опущены в воду? Плотность воды \rho_0 = 1000 кг/м^3 . Алюминия \rho_1 = 2700 кг/м^3 пластилина \rho_2 = 1100 кг/м^3 .

7 Решение

8 А) В воздухе.

1) Так как нить верхняя одна и та же, и всё в равновесии, то масса правого груза также равна m . T = mg 2T = m_2 g \implies \frac{1}{2} = \frac{m}{m_2} \implies m_2 = 2m До погружения в воду: V_2 = \frac{2m}{\rho_2} = \frac{4 кг}{1,1 \cdot 10^3 \frac{кг}{м^3}} = 3,64 \cdot 10^{-3} м^3

Б) В воде

9 1) Для крайнего груза T' + F_A = mg T' + \rho_{в} g \frac{m}{\rho_1} = mg T' = mg - \rho_{в} g \frac{m}{\rho_1} T' = mg \left( 1 - \frac{\rho_{в}}{\rho_1} \right) \quad (*)

2) Для среднего груза 2T' + F'_A = m'_2 g 2T' + \rho_{в} g V' = \rho_2 V' g \quad (С \quad учётом (*)) 2 mg \left( 1 - \frac{\rho_{в}}{\rho_1} \right) = V' g (\rho_2 - \rho_{в}) V' = \frac{2m \left( 1 - \frac{\rho_{в}}{\rho_1} \right)}{(\rho_2 - \rho_{в})} = \frac{2m (\rho_1 - \rho_{в})}{\rho_1 (\rho_2 - \rho_{в})} V' = \frac{2 \cdot 2 \cdot (2,7 - 1) \cdot 10^3}{2,7 \cdot 10^3 \cdot (1,1 - 1) \cdot 10^3} = 25,19 \cdot 10^{-3} м^3

\Delta V = V' - V_2 = (25,19 - 3,64) \cdot 10^{-3} = 21,55 \cdot 10^{-3} м^3 — прилепить.

Ответ 21,55 \cdot 10^{-3} м^3 — прилепить.