Статика с гидростатикой

Задача 2

Условие

Сосуд наполнен водой до высоты h = 7,8 см . В него опустили два груза: шар массой m_1 = 10 кг и радиусом R = h и половину такого же шара. Грузы с помощью невесомых вертикальных нитей привязали к горизонтальному стержню AB длиной L = 58 см . Стержень потянули вверх, прикладывая в точке O силу, направленную вертикально вверх. Найдите расстояние AO , если грузы одновременно оторвались от дна сосуда. Площадь соприкосновения второго груза с дном сосуда S = 0,019 м^2 . Плотность воды \rho_0 = 1,0 г/см^3 , плотность материала грузов \rho = 5,0 г/см^3 , g = 10 Н/кг . Вода под второй груз до его отрыва от дна не подтекала.

5 Решение

6 Сила, необходимая для отрыва левого груза: F_{лев} = m_1 g - F_{A1} = m_1 g - \rho_0 g \cdot \frac{V}{2} \quad (1) Где V = \frac{m_1}{\rho} . F_{лев} = m_1 g - \rho_0 g \cdot \frac{m_1}{2\rho} = m_1 g \left( 1 - \frac{\rho_0}{2\rho} \right) F_{лев} = 90 Н

Для отрыва правого: F_{прав} = m_2 g + F_{д}; \quad m_2 = \frac{m_1}{2} F_{д} — сила давления, с которой вода действует на полусферическую поверхность. F_{д} = вес жидкости, расположенной над полусферой. т.е. F_{д} = \rho_0 g \cdot \left( S \cdot h - \frac{V}{2} \right)

Тогда: F_{прав} = \frac{m_1}{2} g + \rho_0 g \cdot \left( S \cdot h - \frac{V}{2} \right) \quad (2) F_{прав} = \frac{m_1 g}{2} + \rho_0 g \cdot \left( S \cdot h - \frac{m_1}{2 \cdot \rho} \right) = \frac{m_1 g}{2} \cdot \left( 1 - \frac{\rho_0}{\rho} \right) + \rho_0 g \cdot S \cdot h F_{прав} = 50 \cdot \left( 1 - \frac{1}{5} \right) + 10^3 \cdot 10 \cdot 0,019 \cdot 7,8 \cdot 10^{-2} = 40 + 14,82 = 54,82 Н

Условие равновесия рычага относительно точки O: F_{лев} \cdot AO = F_{прав} \cdot (L - AO) F_{лев} \cdot AO = F_{прав} \cdot L - F_{прав} \cdot AO AO = \frac{F_{прав} \cdot L}{F_{лев} + F_{прав}} = \frac{54,82 Н \cdot 0,58 м}{144,82 Н} \approx 0,22 м

Ответ 22 см.