Статика с гидростатикой

Задача 1

Условие

В стакан с жидкостью, имеющей плотность \rho_0 погружены три цилиндрических тела одинакового объема, но разных плотностей \rho_1, \rho_2, \rho_3 , и соединенные системой нитей и блоков. Система находится в равновесии, если два верхних цилиндра погружены ровно наполовину. Считая известными \rho_1 и \rho_2 , определите \rho_3 и \rho_0 .

3 Решение

4 2V — объём цилиндров; V — погружены наполовину. (1) \quad T + \rho_1 g 2V = \rho_0 V g (2) \quad 2T + \rho_2 g \cdot 2V = \rho_0 V g (3) \quad 4T + \rho_0 g \cdot 2V = \rho_3 2V g

Из (1): 2T = 2\rho_0 V g - 2\rho_1 g 2V \implies 2T = 2\rho_0 V g - 4\rho_1 V g (Примечание: в исходнике опечатка в индексах при выражении T, исправлено по логике). Хотя, если следовать исходнику OCR: Из (1) T = \rho_0 V g - \rho_1 g 2V . Умножим на 2: 2T = 2\rho_0 V g - 4\rho_1 V g .

Из (2): 2T = \rho_0 V g - \rho_2 g \cdot 2V

Приравняем 2T : 2\rho_0 V g - 4\rho_1 V g = \rho_0 V g - 2\rho_2 V g \rho_0 = 4\rho_1 - 2\rho_2

Из (3): 2T + \rho_0 g \cdot V = \rho_3 V g (сократили на 2) Подставим 2T : (\rho_0 V g - 2\rho_2 V g) + \rho_0 V g = \rho_3 V g 2\rho_0 - 2\rho_2 = \rho_3 Подставим \rho_0 : 2(4\rho_1 - 2\rho_2) - 2\rho_2 = \rho_3 8\rho_1 - 4\rho_2 - 2\rho_2 = \rho_3 \rho_3 = 8\rho_1 - 6\rho_2

Ответ \rho_0 = 4\rho_1 - 2\rho_2; \quad \rho_3 = 8\rho_1 - 6\rho_2 .