Статика с гидростатикой

Задача 6 Условие Легкий цилиндрический сосуд с жидкостью стоит на двух симметричных опорах. Над одной из них внутри сосуда привязан к дну полностью погруженный в жидкость шарик объемом $V = 10 см^3$ и плотностью $\rho = 500 кг/м^3$. Найдите модуль разности сил реакции опор. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^2$. Плотность жидкости $\rho_0 = 1200 кг/м^3$. Решение Силы, действующие на сосуд: $F$ — сила давления на дно; $T$ — сила натяжения нити; $N_1, N_2$ — силы реакции опор. Правило моментов относительно точки A и B Точка A: $(T + N_2) \cdot 2l = F \cdot l \implies (T + N_2) \cdot 2 = F \quad (1)$ Точка B: $N_1 \cdot 2l = F \cdot l \implies 2N_1 = F \quad (2)$ где $$ F = \rho_{ж} \cdot g \cdot H \cdot S = \rho_{ж} \cdot g \cdot (V_{воды в сосуде} + V_{ш}) $$ $$ F = \rho_{ж} \cdot g \cdot \left( \frac{m_{воды}}{\rho_{ж}} + V_{ш} \right) \quad (*) $$ Условие равновесия шарика $$ F_A = m_{ш} \cdot g + T $$ $$ \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} = \rho_{ш} \cdot V_{ш} \cdot g + T \implies T = V_{ш} \cdot g \cdot (\rho_{ж} - \rho_{ш}) \quad (3) $$ из (2) и (*): $$ 2N_1 = \rho_{ж} \cdot g \cdot \left( \frac{m_{воды}}{\rho_{ж}} + V_{ш} \right) $$ $$ N_1 = \frac{m_{воды} \cdot g + \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш}}{2} \quad (4) $$ Из (1) и (2): $$ 2N_1 = 2(T + N_2) \implies N_1 = T + N_2 $$ С учётом (3) и (4): $$ \frac{m_{воды} \cdot g + \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш}}{2} = V_{ш} \cdot g \cdot (\rho_{ж} - \rho_{ш}) + N_2 $$ $$ N_2 = \frac{m_{воды} \cdot g + \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} - 2\rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} + 2\rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш}}{2} $$ $$ N_2 = \frac{m_{воды} \cdot g - \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} + 2\rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш}}{2} \quad (5) $$ Из (4) и (5): $$ N_1 - N_2 = \frac{m_{воды} \cdot g + \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} - (m_{воды} \cdot g - \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} + 2\rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш})}{2} $$ $$ N_1 - N_2 = \frac{2\rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} - 2\rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш}}{2} $$ $$ N_1 - N_2 = \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} - \rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш} $$ $$ N_1 - N_2 = V_{ш} \cdot g \cdot (\rho_{ж} - \rho_{ш}) $$ $$ N_1 - N_2 = 10 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot (1200 - 500) $$ $$ N_1 - N_2 = 7 \cdot 10^4 \cdot 10^{-6} = 7 \cdot 10^{-2} = 70 \cdot 10^{-3} Н = 70 мН $$ Ответ 70 мН.