Статика с гидростатикой

Задача 6

Условие Легкий цилиндрический сосуд с жидкостью стоит на двух симметричных опорах. Над одной из них внутри сосуда привязан к дну полностью погруженный в жидкость шарик объемом V = 10 см^3 и плотностью \rho = 500 кг/м^3 . Найдите модуль разности сил реакции опор. Ускорение свободного падения g = 10 м/с^2 . Плотность жидкости \rho_0 = 1200 кг/м^3 .

16 Решение

17 Силы, действующие на сосуд: F — сила давления на дно; T — сила натяжения нити; N_1, N_2 — силы реакции опор.

Правило моментов относительно точки A и B

Точка A: (T + N_2) \cdot 2l = F \cdot l \implies (T + N_2) \cdot 2 = F \quad (1)

Точка B: N_1 \cdot 2l = F \cdot l \implies 2N_1 = F \quad (2)

где

F = \rho_{ж} \cdot g \cdot H \cdot S = \rho_{ж} \cdot g \cdot (V_{воды в сосуде} + V_{ш}) F = \rho_{ж} \cdot g \cdot \left( \frac{m_{воды}}{\rho_{ж}} + V_{ш} \right) \quad (*)

Условие равновесия шарика F_A = m_{ш} \cdot g + T \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} = \rho_{ш} \cdot V_{ш} \cdot g + T \implies T = V_{ш} \cdot g \cdot (\rho_{ж} - \rho_{ш}) \quad (3)

из (2) и (*): 2N_1 = \rho_{ж} \cdot g \cdot \left( \frac{m_{воды}}{\rho_{ж}} + V_{ш} \right) N_1 = \frac{m_{воды} \cdot g + \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш}}{2} \quad (4)

Из (1) и (2): 2N_1 = 2(T + N_2) \implies N_1 = T + N_2

С учётом (3) и (4): \frac{m_{воды} \cdot g + \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш}}{2} = V_{ш} \cdot g \cdot (\rho_{ж} - \rho_{ш}) + N_2 N_2 = \frac{m_{воды} \cdot g + \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} - 2\rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} + 2\rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш}}{2} N_2 = \frac{m_{воды} \cdot g - \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} + 2\rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш}}{2} \quad (5)

Из (4) и (5): N_1 - N_2 = \frac{m_{воды} \cdot g + \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} - (m_{воды} \cdot g - \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} + 2\rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш})}{2} N_1 - N_2 = \frac{2\rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} - 2\rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш}}{2} N_1 - N_2 = \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{ш} - \rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш} N_1 - N_2 = V_{ш} \cdot g \cdot (\rho_{ж} - \rho_{ш}) N_1 - N_2 = 10 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot (1200 - 500) N_1 - N_2 = 7 \cdot 10^4 \cdot 10^{-6} = 7 \cdot 10^{-2} = 70 \cdot 10^{-3} Н = 70 мН

Ответ 70 мН.