Статика с гидростатикой

Задача 8 Условие В системе, изображенной на рисунке, блоки C,D,F — неподвижные, а E — подвижный. Поршень B может свободно скользить в отверстии в боковой стенке сосуда на высоте $h$ от дна сосуда, оставаясь горизонтальным. Площадь сечения поршня B равна $S$, а его высота мала. Жесткость пружины, натянутой горизонтально между торцом поршня B и противоположной боковой стенкой сосуда, равна $k$. Масса поршня A равна $M$, площадь его сечения — $2S$. Известно, что если удерживать поршень B так, что он входит на длину $X_0$ в сосуд, то пружина не растянута, а поршень A расположен на высоте $H_0$. Найти, на какую длину поршень B входит в сосуд, когда вся система находится в равновесии, при отсутствии внешнего воздействия. Решение Вода силой давления стремится вытолкнуть поршень В. Чтобы удержать поршень В при недеформированной пружине мы придерживаем ее рукой $\to$ в этом случае поршень В в сосуде на $X_0$. Если отпустим руку, то необходимо найти $X$ – длина поршня, которая находится в сосуде. 1) Поршень B был в сосуде на $X_0$, стал в сосуде на $X$. Поршень B вышел из сосуда на $(X_0 - X)$ — т.е. на столько, насколько натянулась пружина. Поршень В освободил объем $\Delta V_1 = S(X_0 - X)$. Поршень A опустился на $(H_0 - H)$: $\Delta V_2 = (H_0 - H) \cdot 2S$. $\Delta V_1 = \Delta V_2$: $$ S(X_0 - X) = (H_0 - H) \cdot 2S $$ $$ X_0 - X = 2H_0 - 2H $$ $$ 2H = 2H_0 - X_0 + X $$ $$ H = H_0 - \frac{X_0 - X}{2} \quad (1) $$ 2) Для поршня A: $$ P_0 \cdot 2S + Mg = 2T + P_A \cdot 2S \quad (2) | разделим на 2 $$ $$ P_0 \cdot S + \frac{Mg}{2} = T + P_A \cdot S \quad (3) $$ 3) Для поршня B: Растяжение пружины $(X_0 - X)$. $P_B = P_A + \rho g (H - h)$ — давление в точке В. $$ P_0 S + F_{упр} = T + P_B S $$ $$ P_0 S + k(X_0 - X) = T + P_A S + \rho g (H - h)S $$ Подставим $T + P_A S$ из (3): $$ P_0 S + k(X_0 - X) = P_0 S + \frac{Mg}{2} + \rho g (H - h)S $$ $$ k(X_0 - X) = \frac{Mg}{2} + \rho g \left( H_0 - \frac{X_0 - X}{2} - h \right) \cdot S \quad (с учётом (1)) $$ $$ k(X_0 - X) = \frac{Mg}{2} + \rho g S H_0 - \frac{\rho g S(X_0 - X)}{2} - \rho g S h $$ $$ k(X_0 - X) + \frac{\rho g S}{2} (X_0 - X) = \frac{Mg}{2} + \rho g S (H_0 - h) \quad | \cdot 2 $$ $$ 2k(X_0 - X) + \rho g S (X_0 - X) = Mg + 2\rho g S (H_0 - h) $$ $$ (X_0 - X) (2k + \rho g S) = Mg + 2\rho g S (H_0 - h) $$ $$ X_0 - X = \frac{Mg + 2\rho g S (H_0 - h)}{2k + \rho g S} $$ $$ X = X_0 - \frac{Mg + 2\rho g S (H_0 - h)}{2k + \rho g S} $$ Ответ $X = X_0 - \frac{Mg + 2\rho g S (H_0 - h)}{2k + \rho g S}$.