Статика с гидростатикой

Задача 8

Условие

В системе, изображенной на рисунке, блоки C,D,F — неподвижные, а E — подвижный. Поршень B может свободно скользить в отверстии в боковой стенке сосуда на высоте h от дна сосуда, оставаясь горизонтальным. Площадь сечения поршня B равна S , а его высота мала. Жесткость пружины, натянутой горизонтально между торцом поршня B и противоположной боковой стенкой сосуда, равна k . Масса поршня A равна M , площадь его сечения — 2S . Известно, что если удерживать поршень B так, что он входит на длину X_0 в сосуд, то пружина не растянута, а поршень A расположен на высоте H_0 . Найти, на какую длину поршень B входит в сосуд, когда вся система находится в равновесии, при отсутствии внешнего воздействия.

22 Решение

23 Вода силой давления стремится вытолкнуть поршень В.

Чтобы удержать поршень В при недеформированной пружине мы придерживаем ее рукой \to в этом случае поршень В в сосуде на X_0 .

Если отпустим руку, то необходимо найти X – длина поршня, которая находится в сосуде.

1) Поршень B был в сосуде на X_0 , стал в сосуде на X . Поршень B вышел из сосуда на (X_0 - X) — т.е. на столько, насколько натянулась пружина. Поршень В освободил объем \Delta V_1 = S(X_0 - X) . Поршень A опустился на (H_0 - H) : \Delta V_2 = (H_0 - H) \cdot 2S . \Delta V_1 = \Delta V_2 : S(X_0 - X) = (H_0 - H) \cdot 2S X_0 - X = 2H_0 - 2H 2H = 2H_0 - X_0 + X H = H_0 - \frac{X_0 - X}{2} \quad (1)

2) Для поршня A: P_0 \cdot 2S + Mg = 2T + P_A \cdot 2S \quad (2) | разделим на 2 P_0 \cdot S + \frac{Mg}{2} = T + P_A \cdot S \quad (3)

3) Для поршня B: Растяжение пружины (X_0 - X) . P_B = P_A + \rho g (H - h) — давление в точке В. P_0 S + F_{упр} = T + P_B S P_0 S + k(X_0 - X) = T + P_A S + \rho g (H - h)S Подставим T + P_A S из (3): P_0 S + k(X_0 - X) = P_0 S + \frac{Mg}{2} + \rho g (H - h)S k(X_0 - X) = \frac{Mg}{2} + \rho g \left( H_0 - \frac{X_0 - X}{2} - h \right) \cdot S \quad (с учётом (1)) k(X_0 - X) = \frac{Mg}{2} + \rho g S H_0 - \frac{\rho g S(X_0 - X)}{2} - \rho g S h k(X_0 - X) + \frac{\rho g S}{2} (X_0 - X) = \frac{Mg}{2} + \rho g S (H_0 - h) \quad | \cdot 2 2k(X_0 - X) + \rho g S (X_0 - X) = Mg + 2\rho g S (H_0 - h) (X_0 - X) (2k + \rho g S) = Mg + 2\rho g S (H_0 - h) X_0 - X = \frac{Mg + 2\rho g S (H_0 - h)}{2k + \rho g S} X = X_0 - \frac{Mg + 2\rho g S (H_0 - h)}{2k + \rho g S}

Ответ X = X_0 - \frac{Mg + 2\rho g S (H_0 - h)}{2k + \rho g S} .