Статика с гидростатикой

Задача 7

Условие

Эрнест прикрепил одинаковыми легкими тонкими пружинами торец прямоугольного бруска ко дну стакана, и начал наливать воду в стакан. Эрнест отметил черточкой уровень воды, когда она достигла нижнего края бруска. Затем он отметил уровень воды, когда пружины были недеформированы и когда вода достигла верхнего края бруска. Расстояние между нижней и средней черточкой оказалось в 4 раза больше, чем между средней и верхней. Найдите плотность бруска, плотность воды равна 1000 кг/м ^3 .

18 Решение

x_1 = 4x_2 . h — высота бруска. L_1 — высота, на которой расположена первая черточка. L_2 — вторая черточка (пружина недеформирована, L ). L_3 — третья черточка.

Пружина сжата:

19 mg = k(L - L_1) \rho_{т} h S g = k(L - L_1) L - L_1 = \frac{\rho_{т} \cdot h \cdot S g}{k} L_1 = L - \frac{(\rho_{т} \cdot h \cdot S g)}{k} Недеформирована:

20 mg = F_{A2} \rho_{т} h S g = \rho_0 g S (L_2 - L) L_2 - L = \rho_{т} \frac{h}{\rho_0} L_2 = L + \rho_{т} \cdot \frac{h}{\rho_0} Растянута:

21 mg + F_{упр3} = F_{A3} \rho_{т} h g + k(L_3 - h - L) = \rho_0 g S h L_3 - h - L = \frac{g S h (\rho_0 - \rho_{т})}{k} L_3 = \frac{g S h (\rho_0 - \rho_{т})}{k} + L + h Расстояния между черточками: x_1 = L_2 - L_1 = L + \frac{\rho_{т} \cdot h}{\rho_0} - L + \frac{\rho_{т} h S g}{k} = \rho_{т} \left( \frac{h}{\rho_0} + \frac{h S g}{k} \right) x_2 = L_3 - L_2 = \frac{g S h (\rho_0 - \rho_{т})}{k} + L + h - L - \frac{\rho_{т} h}{\rho_0} x_2 = \frac{g S h (\rho_0 - \rho_{т})}{k} + \frac{h\rho_0 - \rho_{т} h}{\rho_0} x_2 = (\rho_0 - \rho_{т}) \left( \frac{g S h}{k} + \frac{h}{\rho_0} \right)

Отношение: \frac{x_1}{x_2} = 4 \frac{\rho_{т} \left( \frac{h}{\rho_0} + \frac{h S g}{k} \right)}{(\rho_0 - \rho_{т}) \left( \frac{g S h}{k} + \frac{h}{\rho_0} \right)} = \frac{\rho_{т}}{\rho_0 - \rho_{т}} = 4 \rho_{т} = 4\rho_0 - 4\rho_{т} 5\rho_{т} = 4\rho_0 \rho_{т} = 4 \frac{\rho_0}{5} = \frac{4 \cdot 1000}{5} = 800 кг/м^3

Ответ 800 кг/м ^3 .