Статика с гидростатикой

Задача 7 Условие Эрнест прикрепил одинаковыми легкими тонкими пружинами торец прямоугольного бруска ко дну стакана, и начал наливать воду в стакан. Эрнест отметил черточкой уровень воды, когда она достигла нижнего края бруска. Затем он отметил уровень воды, когда пружины были недеформированы и когда вода достигла верхнего края бруска. Расстояние между нижней и средней черточкой оказалось в 4 раза больше, чем между средней и верхней. Найдите плотность бруска, плотность воды равна 1000 кг/м$^3$. Решение $x_1 = 4x_2$. $h$ — высота бруска. $L_1$ — высота, на которой расположена первая черточка. $L_2$ — вторая черточка (пружина недеформирована, $L$). $L_3$ — третья черточка. Пружина сжата: $$ mg = k(L - L_1) $$ $$ \rho_{т} h S g = k(L - L_1) $$ $$ L - L_1 = \frac{\rho_{т} \cdot h \cdot S g}{k}$$ $$ L_1 = L - \frac{(\rho_{т} \cdot h \cdot S g)}{k}$$ Недеформирована: $$ mg = F_{A2} $$ $$ \rho_{т} h S g = \rho_0 g S (L_2 - L) $$ $$ L_2 - L = \rho_{т} \frac{h}{\rho_0} $$ $$L_2 = L + \rho_{т} \cdot \frac{h}{\rho_0} $$ Растянута: $$ mg + F_{упр3} = F_{A3} $$ $$ \rho_{т} h g + k(L_3 - h - L) = \rho_0 g S h $$ $$ L_3 - h - L = \frac{g S h (\rho_0 - \rho_{т})}{k} $$ $$ L_3 = \frac{g S h (\rho_0 - \rho_{т})}{k} + L + h $$ Расстояния между черточками: $$ x_1 = L_2 - L_1 = L + \frac{\rho_{т} \cdot h}{\rho_0} - L + \frac{\rho_{т} h S g}{k} = \rho_{т} \left( \frac{h}{\rho_0} + \frac{h S g}{k} \right) $$ $$ x_2 = L_3 - L_2 = \frac{g S h (\rho_0 - \rho_{т})}{k} + L + h - L - \frac{\rho_{т} h}{\rho_0} $$ $$ x_2 = \frac{g S h (\rho_0 - \rho_{т})}{k} + \frac{h\rho_0 - \rho_{т} h}{\rho_0} $$ $$ x_2 = (\rho_0 - \rho_{т}) \left( \frac{g S h}{k} + \frac{h}{\rho_0} \right) $$ Отношение: $$ \frac{x_1}{x_2} = 4 $$ $$ \frac{\rho_{т} \left( \frac{h}{\rho_0} + \frac{h S g}{k} \right)}{(\rho_0 - \rho_{т}) \left( \frac{g S h}{k} + \frac{h}{\rho_0} \right)} = \frac{\rho_{т}}{\rho_0 - \rho_{т}} = 4 $$ $$ \rho_{т} = 4\rho_0 - 4\rho_{т} $$ $$ 5\rho_{т} = 4\rho_0 $$ $$ \rho_{т} = 4 \frac{\rho_0}{5} = \frac{4 \cdot 1000}{5} = 800 кг/м^3 $$ Ответ 800 кг/м$^3$.