Средняя путевая скорость

Задача 3

Условие

Первую половину пути между пунктами А и В автомобиль двигался с одной скоростью, а вторую половину — с другой. Оказалось, что его средняя скорость \vartheta_{ср1} на двух третях пути от пункта А была на 40

Решение

А) Средняя скорость на всем пути: \vartheta_{ср} = \frac{2\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_1+\vartheta_2}

6 Б)

7 Средняя скорость на первых 2/3 пути от А ( \vartheta_{ср1} ). Этот участок состоит из первой половины всего пути ( S/2 ) и части второй половины пути: \frac{2S}{3} - \frac{S}{2} = \frac{S}{6} \vartheta_{ср1} = \frac{2S/3}{t_1+t_2} = \frac{2S/3}{\frac{S/2}{\vartheta_1} + \frac{S/6}{\vartheta_2}} = \frac{2/3}{\frac{1}{2\vartheta_1} + \frac{1}{6\vartheta_2}} = \frac{2/3}{\frac{3\vartheta_2+\vartheta_1}{6\vartheta_1\vartheta_2}} = \frac{4\vartheta_1\vartheta_2}{3\vartheta_2+\vartheta_1} \quad (1)

В)

8 Средняя скорость на последних 2/3 пути от А, что то же самое, что и первые 2/3 пути от В ( \vartheta_{ср2} ). Этот участок состоит из части первой половины пути ( S/6 ) и всей второй половины ( S/2 ). \vartheta_{ср2} = \frac{2S/3}{\frac{S/6}{\vartheta_1} + \frac{S/2}{\vartheta_2}} = \frac{2/3}{\frac{1}{6\vartheta_1} + \frac{1}{2\vartheta_2}} = \frac{2/3}{\frac{\vartheta_2+3\vartheta_1}{6\vartheta_1\vartheta_2}} = \frac{4\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_2+3\vartheta_1} \quad (2)

По условию, \vartheta_{ср1} = (1-0,4)\vartheta_{ср2} = 0,6\vartheta_{ср2} . \begin{aligned}

\frac{4\vartheta_1\vartheta_2}{3\vartheta_2+\vartheta_1} &= 0,6 \cdot \frac{4\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_2+3\vartheta_1} \\

\frac{1}{3\vartheta_2+\vartheta_1} &= \frac{0,6}{\vartheta_2+3\vartheta_1} \\

\vartheta_2+3\vartheta_1 &= 0,6(3\vartheta_2+\vartheta_1) \\

\vartheta_2+3\vartheta_1 &= 1,8\vartheta_2+0,6\vartheta_1 \\

3\vartheta_1 - 0,6\vartheta_1 &= 1,8\vartheta_2 - \vartheta_2 \\

2,4\vartheta_1 &= 0,8\vartheta_2 \\

\vartheta_2 &= 3\vartheta_1 \quad (3)

\end{aligned}

Подставим (3) в (1), используя \vartheta_{ср1} = 36 : \begin{aligned}

36 &= \frac{4\vartheta_1(3\vartheta_1)}{3(3\vartheta_1)+\vartheta_1} = \frac{12\vartheta_1^2}{9\vartheta_1+\vartheta_1} = \frac{12\vartheta_1^2}{10\vartheta_1} = \frac{12\vartheta_1}{10} \\

\vartheta_1 &= \frac{36 \cdot 10}{12} = 30 \frac{км}{ч}

\end{aligned}

Тогда \vartheta_2 = 3\vartheta_1 = 3 \cdot 30 = 90 \frac{км}{ч} .

Вернемся к главному вопросу — средней скорости на всем пути: \vartheta_{ср} = \frac{2\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_1+\vartheta_2} = \frac{2 \cdot 30 \cdot 90}{30+90} = \frac{5400}{120} = 45 \frac{км}{ч}

Ответ 45 \frac{км}{ч} .