Средняя путевая скорость

Задача 3 Условие Первую половину пути между пунктами А и В автомобиль двигался с одной скоростью, а вторую половину — с другой. Оказалось, что его средняя скорость $\vartheta_{ср1}$ на двух третях пути от пункта А была на 40 Решение А) Средняя скорость на всем пути: $$ \vartheta_{ср} = \frac{2\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_1+\vartheta_2} $$ Б) Средняя скорость на первых $2/3$ пути от А ($\vartheta_{ср1}$). Этот участок состоит из первой половины всего пути ($S/2$) и части второй половины пути: $$\frac{2S}{3} - \frac{S}{2} = \frac{S}{6}$$ $$ \vartheta_{ср1} = \frac{2S/3}{t_1+t_2} = \frac{2S/3}{\frac{S/2}{\vartheta_1} + \frac{S/6}{\vartheta_2}} = \frac{2/3}{\frac{1}{2\vartheta_1} + \frac{1}{6\vartheta_2}} = \frac{2/3}{\frac{3\vartheta_2+\vartheta_1}{6\vartheta_1\vartheta_2}} = \frac{4\vartheta_1\vartheta_2}{3\vartheta_2+\vartheta_1} \quad (1) $$ В) Средняя скорость на последних $2/3$ пути от А, что то же самое, что и первые $2/3$ пути от В ($\vartheta_{ср2}$). Этот участок состоит из части первой половины пути ($S/6$) и всей второй половины ($S/2$). $$ \vartheta_{ср2} = \frac{2S/3}{\frac{S/6}{\vartheta_1} + \frac{S/2}{\vartheta_2}} = \frac{2/3}{\frac{1}{6\vartheta_1} + \frac{1}{2\vartheta_2}} = \frac{2/3}{\frac{\vartheta_2+3\vartheta_1}{6\vartheta_1\vartheta_2}} = \frac{4\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_2+3\vartheta_1} \quad (2) $$ По условию, $\vartheta_{ср1} = (1-0,4)\vartheta_{ср2} = 0,6\vartheta_{ср2}$. $$\begin{aligned} \frac{4\vartheta_1\vartheta_2}{3\vartheta_2+\vartheta_1} &= 0,6 \cdot \frac{4\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_2+3\vartheta_1} \\ \frac{1}{3\vartheta_2+\vartheta_1} &= \frac{0,6}{\vartheta_2+3\vartheta_1} \\ \vartheta_2+3\vartheta_1 &= 0,6(3\vartheta_2+\vartheta_1) \\ \vartheta_2+3\vartheta_1 &= 1,8\vartheta_2+0,6\vartheta_1 \\ 3\vartheta_1 - 0,6\vartheta_1 &= 1,8\vartheta_2 - \vartheta_2 \\ 2,4\vartheta_1 &= 0,8\vartheta_2 \\ \vartheta_2 &= 3\vartheta_1 \quad (3) \end{aligned}$$ Подставим (3) в (1), используя $\vartheta_{ср1} = 36$: $$\begin{aligned} 36 &= \frac{4\vartheta_1(3\vartheta_1)}{3(3\vartheta_1)+\vartheta_1} = \frac{12\vartheta_1^2}{9\vartheta_1+\vartheta_1} = \frac{12\vartheta_1^2}{10\vartheta_1} = \frac{12\vartheta_1}{10} \\ \vartheta_1 &= \frac{36 \cdot 10}{12} = 30 \frac{км}{ч} \end{aligned}$$ Тогда $\vartheta_2 = 3\vartheta_1 = 3 \cdot 30 = 90 \frac{км}{ч}$. Вернемся к главному вопросу — средней скорости на всем пути: $$ \vartheta_{ср} = \frac{2\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_1+\vartheta_2} = \frac{2 \cdot 30 \cdot 90}{30+90} = \frac{5400}{120} = 45 \frac{км}{ч} $$ Ответ $45 \frac{км}{ч}$.